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SULLE VARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



Un piano intersezione di tre spazi corrispondenti delle tre reti contiene sempre tre, 

 e tre soli, dei sei punti d'incontro di terne di piani corrispondenti; poiché i piani 

 corrispondenti di quei tre spazi determinano su quel piano tre fasci proiettivi di rette, 

 e si sa che in questi vi sono tre terne di rette corrispondenti concorrenti. Chiamando 

 1, 2, 3, 4, 5, 6 i sei punti doppi di F nominati, siano ad esempio 1, 2, 3 quelli 

 contenuti nel piano considerato del 1° sistema di rette. Il piano 4 5 6 taglierà questo 

 in un punto 7 di F posto fuori delle rette 4 5, 5 6, 6 4 appartenenti a F (in causa 

 dell'indipendenza fra i punti 1, 2, 6); ne segue che anche il piano 4 5 6 starà 

 su F. Quindi il punto 7 essendo Yunico punto comune a due piani di F, sarà un 

 nuovo punto doppio di questa (che se fosse semplice, lo spazio tangente a F in esso 

 dovrebbe contenere quei due piani). 



Il cono cubico di rette del 2° sistema uscente da uno qualunque dei punti 4, 

 5, 6 comprende un cono quadrico giacente in uno spazio col piano 123 e quindi si 

 scinde in quello e in un fascio di rette del piano 456, sicché per ogni punto di 

 questo piano passando tre sue rette del 2° sistema , tutte le l'ette del piano 4 5 6 

 apparterranno al 2" sistema. Vediamo così che per ogni piano rigato che si stacca 

 dal 1" sistema (come intersezione di spazi corrispondenti nelle tre reti generatrici di 

 questo) vi è un piano rigato che analogamente si stacca dal 2" sistema (*) ; e che 

 i sei punti 1, 2, 6 si dividono in due terne situate rispettivamente in quei due 

 piani. Se si suppone anzitutto che solo i piani 1 2 3, 4 5 6 si stacchino rispettiva- 

 mente dai due sistemi, questi si ridurranno entrambi alla 5" classe e le proprietà 

 dell'uno si dedurranno da quelle dell'altro scambiando i due piani 1 2 3, 4 5 6. Le 

 rette del 1° sistema si appoggiano al piano 4 5 6, quelle del 2" al piano 12 3. 



[*) Questa proposizione rientra, nella seguente, assai più generale. Abbiasi in un 5,^ una varietà- 

 generata da m sistemi lineari projettivi l — i volte infiniti di S,,_, : 



(1) 



1 >, /!„ -+- • 



. -V = 



1 h ^ml ^ ■ 





e quindi anche da l sistemi lineari projettivi m — 1 volte infiniti : 



1 



Hi) 







cioè rappresentabile con la matrice : 



= 



iV., anche pel significato generale che qui diamo al vocabolo t generare», il ^ citato del lavoro del 

 sig. Veronese). Se esiste un S„-m+, d' intersezione di spazi corrispondenti degli m sistemi (1), esì- 

 sterà pure un Su-_ih-, d' intersezione di spazi corrispondenti degli 1 sistemi (2). In fatti, sia l'uno sia 

 l'altro fatto, accade solo quando esistono valori dei parametri ), ,« tali che si abbia identicamente 

 [rispetto alle coordinate variabili) 



1 'ì-s f-r Ars — • 



La stessa proposizione si estende immediatamente al caso in cui le Ars , anzi che lineari, siano 

 forme di qualunque ordine. 



