DI CORRADO SEGRE 



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(li 5° ordine dianzi nominato. — Si ottengono cosi per lo spazio ordinario R le proposi- 

 zioni seguenti : 



La superficie del 4" ordine con un piano doppio, cioè con sei punti doppi su 

 una conica, e con altri sei punti doppi indipendenti, è superfìcie focale di due si- 

 stemi di rette (2, 6)2 e di un sistema residuo (8, 15). Ciascuno degli ultimi sei 

 punti doppi è vertice di due coni cubici di raggi dei primi due sistemi; dei sei 

 punti doppi posti sul piano doppio, quattro sono vertici di coni quadrici di raggi 

 di quei due sistemi (e del sistema residuo) e ciascuno dei rimanenti due è per l'uno 

 di questi sistemi vertice di un cono di raggi del h" ordine, e per Valtro centro di 

 un fascio di raggi posto nel piano doppio. Ognuno dei due sistemi del 2° ordine 

 ha 6 rette doppie, che sono rette doppie pei suo cono di raggi del 5° ordine e 

 rispiettivamente pei suoi 6 coni cubici. 



La superficie del 6° ordine con sestica cuspidale e sei punti doppi indipen- 

 denti è focale per due diversi sistemi di rette (3, 6), ciascuno dei quali ha sei 

 coni di raggi cubici razionali uscenti rispettivamente dai sei punti doppi , ed 

 aventi per generatrici doppie 6 rette doppie del sistema {le quali sono rette 

 semplici per Valtro sistema). 



Si noti che i sistemi di rette (2, G)^ ottenuti col nostro procedimento sono i 

 più generali; ciò risulta dal fatto dimostrato da Kummer (*) che la superficie focale 

 di nn sistema (2, 6), deve appunto essere del 4" ordine con un piano doppio e 12 

 punti doppi, e dalle nostre proposizioni dei n.' 2 e 13. Quest'osservazione si può 

 anche fare pei sistemi di rette del 2° ordine che studieremo nei §§ seguenti. Aggiun- 

 giamo che se pei sistemi di 2° e 3" ordine incontrati qui e nel seguito ci limi- 

 tiamo a stabilire col nostro metodo le prime proprietà , si vede però bene che 

 questo si presterebbe anche ad uno studio più minuto di essi. 



Varietà cubiche con sette punti doppi. 



15. Mentre nel § precedente si considerava la varietà cubica F generata da 3 

 reti proiettive affatto generali, introdurremo in questo e nei successivi delle partico- 

 larità in quella proiettività tali che F oltre ai 6 punti doppi del caso generale venga 

 ad averne altri (1, 2, 3, 4). 



Se nelle tre reti generatrici di F, cioè del suo 1° sistema di rette, vi sono tre 

 spazi corrispondenti passanti per uno stesso piano, questo apparterrà a F, e il sistema 

 delle sue rette si staccherà dal suddetto sistema, il quale così diminuirà di classe. 

 Essendo la proiettività fra tre reti determinata da quattro terne di spazi corrispon- 

 denti, si potranno prendere ad arbitrio 1, 2, 3, 4 piani appoggiati agli assi delle 

 tre reti come piani comuni a tre spazi corrispondenti, sicché ih tal modo possiamo ridui're 

 il V sistema di rette di F dalla G' classe alle classi 5', 4', 3", 2\ 



(*) Ueber die algebraischen Strahlensysteme u, s. w. (Math. Abhandlungea d. k. Akad,. d. W. zn 

 Berlin, 1866 , § 12. — A questa Memoria rimandiamo fia d' ora anche pei risultati che si otterranno 

 in seguito sui sistemi di rette di 2'' ordine e di classe ■< 6. 



