14 SULLE VARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



Dimostreremo ora che le reti che proiettano da due rette r, r del 1° sistema 

 le rette del 2" non appoggiate ne ad r, ne ad r\ sono proiettive. Perciò osserviamo 

 che uno spazio qualunque passante per r contiene (per le note proprietà delle bis- 

 sestuple) una sola retta del 2° sistema non appoggiata ad r, e quella sarà proiettata 

 da r mediante un determinato spazio; cosicché la corrispondenza tra le reti degli 

 spazi passanti per /• ed r è univoca. Considerando poi gli spazi di un determinato 

 fascio della prima rete , questi determinano quelle co' rette del 2" sistema che si 

 appoggiano alla conica intersezione residua di F col piano passante per r, sostegno 

 di quel fascio di spazi; e per provare che a questo corrisponde pure un fascio di 

 spazi nella seconda rete, bisognerà provare che r' è corda di una conica incontrata 

 da quelle oo' rette del 2" sistema. 



A tal fine notiamo che le rette del 2° sistema appoggiate ad una retta r' del 

 1° sistema formano una rigata del 6" ordine, poiché r' appartiene semplicemente a 

 quella rigata, e su ogni spazio passante per r' vi sono 5 generatrici di questa. Le 

 rette del 2° sistema appoggiate sulla conica considerata di un piano passante per r, 

 formano una rigata che sarà di 3° ordine, poiché essa passa semplicemente per quella 

 conica ed ha una sola generatrice in uno spazio passante per questa. Delle rette del 

 2" sistema appoggiate su r' sei incontreranno il piano nominato; ma di esse quattro lo 

 incontrano in punti di r, e quindi solo due apparterranno alla rigata cubica nominata. 

 Dunque r é corda di questa rigata, e quindi anche di una conica posta su questa, come 

 appunto ci eravamo ridotti a dimostrare (*). 



14. Nel ragionamento precedente abbiamo già visto che le rette di T appartenenti 

 al 1" od al 2° sistema ed appoggiate ad una retta dell'altro, formano una rigata del 

 6° ordine avente quella retta per retta semplice. Aggiungiamo che le rette del 1" (o 

 del 2°) sistema appoggiate su una retta del sistema residuo formano una rigata cubica 

 passante semplicemente per quella retta (ed é tra le rigate cubiche che così si ottengono 

 quella che pure s'incontrò nell'ultimo ragionamento). 



Proiettando da un punto P di F sullo spazio E, pel punto doppio di dato da 

 una retta di F uscente da P (e posto nel piano RU, essendo FI lo spazio tangente a l' 

 in P) uscirà un cono di raggi del 1° sistema proiezione della rigata dei raggi del 1° si- 

 stema appoggiati alla retta considerata di F, Quindi dalla retta del 2° sistema uscente 

 da P si ottiene un cono del 5° ordine, e da ciascuna delle quattro rette del sistema 

 residuo uscenti da P si ottiene un cono quadrico. Le rette del 1 sistema poi che sono 

 infinitamente vicine a quella passante per P si proiettano, come facilmente si vede, se- 

 condo il fascio di rette giacente nel piano P II e avente il centro su questa retta del 

 1° sistema. Osserviamo poi che ogni cono cubico di rette del 1° sistema ha 2 generatrici 

 appoggiate alla retta del 2° sistema uscente da P (v. n." 12 alla fine) e che queste si 

 proietteranno secondo una stessa retta, doppia pel sistema di rette di R che è proiezione 

 del 1° sistema, e doppia in pari tempo per la proiezione di quel cono cubico e pel cono 



(•) Una parte di questo ragionamento si applica pure a provare che se su una varietà cubica 

 priva di linee doppie esiste un sistema di rette dì i" ordine, essa sarà generabile mediante tre reti pro- 

 iettive. V. n." 27. 



