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SULLE VARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



punto (loppio il cono sestico si spezza in tre cani quadrici, si ha appunto questo caso. 

 Vjsso dà luoj^o a superficie del 4" e 6" ordine, casi particolari di quelle del n." pre- 

 cedente, le cui particolarità tralasciamo di enunciare. 



Se poi, oltre a D, si suppone vi sia un nuovo punto doppio D', la retta D Ij' 

 di r incontrerà uno determinato dei tre piani tt, tTj, tTj, p. e. e lo spazio che la 

 congiunge a questo taglierà ancora F in due piani tt'.tt' . Questo caso di una varietà 

 cubica con 8 punti doppi e .5 piani, s'incontrerà più tardi (n.* 19) da un altro 

 punto di vista. 



Se, ritornando al caso in cui F contiene un solo piano n, si suppone che essa 

 abbia fuori di questo tre punti doppi 1, 2, 3, si dovrà, per escludere casi già con- 

 siderati, ammettere che il piano n non incontri alcuna delle tre rette 12, 23, 31 ; 

 ma allora il piano 123. tagliando F secondo queste rette e secondo il punto che 

 esso ha a comune con tt, apparterrà a F. Anche questo caso di una varietà cubica 

 contenente due piani, non situati in uno stesso spazio, s'incontrerà di nuovo in se- 

 guito (n." 15 e seg.). 



Varietà cubiche generabili con tre reti proiettive. 

 Varietà con sei punti doppi. 



12. Consideriamo in tre reti (*) proiettive di spazi. Le co- rette d'interse- 

 zione degli spazi corrispondenti stanno sopra una varietà cubica F, nella quale è pure 

 contenuto un secondo sistema analogo al primo, e contenente le rette sostegni delle 

 tre reti ; da due rette qualunque di uno stesso sistema le rette dell'altro sono proiet- 

 tate mediante reti proiettive. Tutto ciò risulta, come è noto, immediatamente dal- 

 l'equazione di F scritta sotto forma di un determinante (**). Per questa via, che in 

 questo caso si può sostituire facilmente con un procedimento sintetico, si vede pure 

 che vi sono in generale 6 punti, in ciascuno dei quali si tagliano tre piani corri- 

 spondenti delle tre reti ; essi saranno punti doppi per F {***). Due sistemi di rette 

 aventi tra loro le dette relazioni si chiameranno coniugati. 



(*) Intendiamo per rete di spazi in la forma fondamentale avente per sostegno una retta. 

 (**) V. Veronese, Behandlung der proj. Verhàltnisse u. s. w. (Math. Ann. XIX). V. Abschnitt, § 1. 

 Segue pure facilmente da semplici trasformazioni di determinanti che le vai-ietà generabili con tre reti 

 proiettive di spazi sono le stesse che quelle generabili con quattro stelle (forme fondamenlali aventi 

 dei punti per sostegni ) proiettive aventi uno spazio unito, e quelle generabili con cinque S, sovrap- 

 posti collineari aventi due spazi uniti. 



(***) Due qualunque delle 3 reti generano, come luogo dei punti d' intersezione dei piani corri- 

 spondenti, una rigata cubica appartenente ad .5^. Ora due tali rigate, avendo una generatrice comune, 

 si tagliano ancora in generale in 6 punti (come si vedo subito, considerando ad esempio 1' una di 

 esse come parte dell'intersezione dei due coni AP che la proiettano da due suoi punti) ; e questi sono 

 precisamente i 6 punti di cui sopra si parla. 



Se le 3 reti presentano la particolarità che vi sia una retta d d' intersezione di 3 piani corri- 

 spondenti, allora le due rigate dianzi considerate avranno comune, oltre ad una generatrice, anche 

 la direttrice ci e si taglieranno quindi ancora in generale in 3 punti (come risulta proiettando le due 

 rigate dalla comune direttrice); sicché questi saranno (insieme con quelli di d) i soli punti per cia- 

 scuno dei quali passano 3 piani corrispondenti. Ma di questo caso, in cui V ha una retta doppia d, 

 ci occuperemo piii tardi (n.° 36). 



