DI CORRADO SEGRE 



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9. Ritornando alla considerazione diretta della varietà cubica T contenente un 

 piano -, se essa acquista un punto doppio D fuori di n, lo spazio che lo congiungo 

 a 7; segherà ancora F in un cono quadrico uscente da D, sicché il cono sestico di F 

 avente per vertice D si spezza in tal caso in quel cono quadrico, ed in un cono 

 del 4° ordine. Viceversa, se una varietà cubica ha un punto doppio che presenti 

 queste particolarità, essa apparterrà appunto alla specie che ora esaminiamo. In questa 

 del resto non vi sono altre particolarità notevoli. Essa conduce a casi particolari 

 delle superficie del 4" e 6° ordine dei numeri 7 e 8 caratterizzati dall'avere un nuovo 

 punto doppio (fuori dei piani doppi nominati). 



Lo stesso dicasi pel caso in cui F abbia fuori del piano due punti doppi, se 

 la retta che li congiunge non incontra tz. 



10. Ma se F fuori del piano ha due punti doppi posti in uno spazio con ;t, 

 la quadrica intersezione residua di quello spazio con F dovrà scindersi in altri due 

 piani 7:^,77.,, e F sarà caratterizzata dal contenere tre piani n, tTj , tt^, di uno stesso 

 spazio, 0, ciò che fa lo stesso, dall'avei'e 6 punti doppi in uno stesso spazio. Quei 

 punti doppi stanno a coppie sulle tre rette d'intersezione di tt , 7:^ , tt^ . il sistema delle 

 rette di F si scinde in tre diversi sistemi (2, 8), composti ciascuno delle rette che 

 incontrano uno dei tre piani rr , , tt., , cioè delle generatrici delle quadriche di F 

 poste negli spazi passanti per quel piano (*). 



Proiettando, otteniamo : 



Esiste una superficie del 4" ordine con quattro piani doppi e dodici punti 

 doppi costituenti le coppie di punti comuni alle coniche di contatto di quei quattro 

 piani. Essa è V inviluppo di tre diverse serie d'indice 2 di quadriche, ciascuna 

 delle quali ha per punti base gli- otto punti doppi che si ottengono trascurando le 

 due coppie poste su due spigoli opposti del tetraedro dei piani doppi : le genera- 

 trici di quelle tre serie di quadriche formano tre sistemi (4 , 8) costituenti le 

 tangenti doppie della superficie. 



Esiste uìia superfìcie del 6" ordine con sestica cuspidale a tre piani doppi, 

 le cui coniche di contatto s' incontrano in tre coppie di punti doppi della super- 

 fìcie. Questa è l'inviluppo di tre serie d'indice 3 di quadriche, passanti rispet- 

 tivamente pei quattro punti doppi di uno stesso piano. Il sistema delle tangenti 

 doppie di quella superficie si scinde nei tre sistemi (6, 8) delle generatrici di quelle 

 quadriche. 



11. Nel caso precedente si può introdurre in F una nuova particolarità suppo- 

 nendo che, oltre ai punti doppi considerati, ve ne sia un nuovo D fuori dello spazio 

 71 TTj TTg. Allora il cono sestico di F uscente da D si spezzerà in tre coni quadrici ap- 

 partenenti rispettivamente alle tre serie di quadriche di F ; e viceversa, se per un 



(*) E chiaro che la curva del 4° ordine luogo dei poli del piano n rispetto alle quadriche deter- 

 minate da r sugli spazi passanti per ti (n.°6) si riduce ora, fatta astrazione della retta n, r, , ad una 

 cubica sghemba. Tralascieremo ia generale, come cosa affatto ovvia, di accennare, nei vari casi che 

 ci si presenterebbero in seguito, le degenerazioni della curva che così si deduce da tali serie di qua- 

 driche dalle loro proiezioni. 



