10 SULLE VARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



7. Nel proiettare F da un punto qualunque P, il piano n dà come proiezione 

 un piano doppio del contorno apparente F, la cui conica di contatto con questo è la 

 proiezione della conica di contatto di T con lo spazio P n ; viceversa un piano doppio 

 del contorno apparente (diverso per da quello [j. considerato al n." 2) proviene 

 sempre da un piano di F. La considerazione di ciò che avviene nello spazio Pn 

 e le cose dette precedentemente danno, mediante proiezione, i risultati seguenti: 



Una superficie del 4° ordine con due piani doppi {le cui coniche di contatto 

 si taglieranno in due punti doppi della superficie e conterranno ancora altri quattro 

 punti doppi ciascuna) è superficie focale di due sistemi di rette (4, 10) e (8, 16). 

 // 1° sistema comprende tutte le generatrici di una serie d'indice 2 di quadricìie 

 passanti per gli otto punti doppi della superficie non comuni ai due piani doppi, 

 sistema clic contiene sei coni, e che inviluppa appunto la superficie. 



Una superficie del 6° ordine dotata di sestica cuspidale, la quale abbia un 

 piano doppio, avrà su questo quattro punti doppi situati sulla conica di contatto; 

 questa sarà toccata dalla conica intersezione residua di quel piano doppio con la 

 superficie in due punti, nei quali quel piano oscula la sestica cuspidale, e le due 

 coniche avranno comuni con questa sestica le tangenti in quei due punti. Il sistema 

 delle tangenti doppie di questa superficie si spessa in due sistemi (6, 10) e (12, 16), 

 di cui il 1" è costituito dalle generatrici dì una serie d'indice 3 di quadriche pas- 

 santi pei quattro punti doppi, serie che comprende sei coni e che inviluppa, la su- 

 perficie e la sua curva cuspidale. 



8. Se F si proietta dal vertice di uno dei coni quadrici che essa contiene, il 

 contorno apparente F* diventa una superficie del 4° ordine dotata di conica doppia 

 (nella conica sezione di quel cono con lo spazio M). Viceversa ogni superficie del 4° or- 

 dine a conica doppia si può ottenere in questo modo (n.° 2), e si ha così un modo 

 nuovo di studiare e di classificare queste superficie. Ad esempio considerando il caso 

 più generale ed applicando quanto si disse in principio del n." 6 si hanno le seguenti 

 proprietà note (*) : 



Una superficie generale del 4° ordine a conica doppia si può considerare come 

 V inviluppo di una serie oo' d'indice 2 di quadriche passanti per 4 punti fissi 

 {cuspidali) della conica doppia; questa serie comprende 5 coni {coni di Kummer); 



11 luogo dei i^oli del piano della conica doppia rispetto al sistema di quadriche 

 è una cubica sghemba passante pei vertici di quei coni e pei 3 punti diagonali 

 del quadrangolo determinato dai 4 punti cuspidali. 



Proiettando invece F da un punto del suo piano n, questo produrrà una retta 

 doppia di F^, la quale diverrà perciò una superficie del 4° ordine con una retta 

 doppia e con un piano passante per questa e tangente lungo un'altra retta. Questa 

 contiene 2 punti doppi fuori della retta doppia ; oltre ad essa la supei-ficie ha 6 

 coppie di rette in piani per la retta doppia ; ecc. ecc. 



(*) V. per la letteratura relativa alle superficie del 4" ordine dotate di conica doppia o cuspidale 

 il mio lavoro su queste superficie, Math. Ann., XXIV, p. 313. 



