DI CORRADO SEGRE 



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quelle coniche, sicché queste formeranno un fascio (*). I 4 punti base di questo fascio 

 saranno quattro punti doppi di F, Ne segue che una varietà cubica generale non 

 contiene piani. E poi facile vedere sinteticamente che se F contiene un piano, essa è 

 generabile mediante due fasci proiettivi di spazi e di M'~. 



Tutto ciò risulta anche analiticamente dall'equazione generale di una varietà 

 cubica contenente un piano ; poiché se questo è rappresentato da l = o, ni = o, quel- 

 l'equazione sarà : 



essendo ^f, ^ forme quadratiche (**). Ma da questa equazione risulta inoltre che F si 

 può considerare in S._^ come la proiezione fatta dal punto fondamentale 6 su della 

 varietà biquadratica intersezione delle due varietà quadratiche a quattro dimensioni 

 rappresentate dalle equazioni : 



a;gZ4-'^ = o, x^m-if^ — o. 



Quindi lo studio delle varietà cubiche di contenenti piani si riduce a quello 

 delle varietà biquadratiche di S.. 



Se una di 8,^ non degenere si considera come avente per elementi (punti) 

 le rette dello spazio ordinario, una varietà biquadratica intersezione di quella con 

 un'altra viene a costituire un complesso quadratico di rette. Quindi l'osserva- 

 .zione ora fatta mostra uno stretto legame fra le varietà cubiche di contenenti 

 'piani ed i complessi quadratici di rette dello spazio ordinario, legame consistente 

 in ciò clie in un certo senso quelle varietà si possono considerare come proiezioni di 

 questi complessi. Alle varie specie di complessi quadratici corrispondono varie specie 

 di varietà cubiche contenenti piani. 



6. Il luogo dei poli del piano n rispetto alle oc} quadriche di F giacenti negli 

 spazi passanti per - è, come facilmente si vede, una curva del 4° ordine razionale 

 normale, la quale é tangente a F in ciascuno dei 3 punti diagonali del quadrangolo 

 avente per vertici i 4 punti doppi posti su n. Questa curva incontrerà ancora F in 

 6 punti, che saraimo vertici dei coni facenti parte di quella <>=} di quadriche. Dunque 

 questa comprende nel caso più generale 6 coni; ma per ogni punto doppio che F 

 abbia fuori di n due coni coincideranno in uno avente il vertice in quel punto. 



Il cono sestico delle rette di F uscenti da uno qualunque dei quattro punti 

 doppi posti su ~ si scinde in questo piano ed in un cono del 5° ordine passante pei 

 rimanenti tre punti doppi. 



Le rette di F formano un sistema (2, 10) composto delle rette che incontrano tt, 

 le quali sono le generatrici della serie considerata di quadriche, ed un sistema (4, 10) 

 composto di corde di ciascuno dei suddetti coni del 5° ordine. Facciamo astrazione 

 (e così faremo sempre in seguito) dal sistema delle rette giacenti in n. 



(*) Tratteremo più tardi ' n." 38) il caso in cui r ha uq soLo spazio tangente ia tutti i punti 

 di TI, nel qual caso r ha su ti una conica doppia per cui passano tutte le oo' quadriche su nominate. 



(**) L'avere ia vai'ietà cubica contenente un piano quattro punti doppi su questo è caso parti- 

 colare del fatto che in qualunque spazio e qualunque sia l'ordine delle varietà /, m, sempre la 

 loro intersezione è doppia per la varietà If — wif = 0. 



Serie II. Tom. XXXIX. 



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