8 SULLE VARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



F''' hanno sempre ìa stessa classe; questo fatto ci servirsi per determinare in certi 

 casi particolari la classe di F e di mediante quella, già nota da altre ricerche, 

 di F^. Nel caso più generale La classe di Tè 24 ; essa diminuisce di 2 unità per 

 ogni punto doppio ordinario che F acquisti. 



Si possono ottenere casi particolari delle superficie F^ e jF'^ scegliendo in modo 

 particolare il centro P. Così se P e sulla varietà del 5° ordine Hessiana di F, la sestica 

 cuspidale di F^^ viene a stare su un cono quadrico e se, più in particolare, P è sulla 

 superficie parahoìica (del 15° ordine) di F la conica di contatto di F^ col suo piano sin- 

 golare si scinde in due rette , ciascuna delle quali contiene 3 punti doppi {*). Così 

 ancora si può prender P in modo che la sestica cuspidale di F'^ si scinda in due cubiche 

 piane o che le 2 rette ora nominate di F^ coincidano. Ma da tali particolari posi- 

 zioni di F faremo quasi sempre astrazione. 



4. Se F ha un punto doppio P la S-'"^ intersezione di F col cono M- tangente in 

 P, diventa un cono composto di rette di F uscenti da P. E siccome la M- passa per 

 ogni altro punto doppio di F, così quel cono sestico avrà per retta doppia ogni retta che 

 congiunga P ad un altro punto doppio di F (**). Ogni retta di F non appartenente a quel- 

 cono sestico incontra quella Ji~in due punti, e quindi è una corda del cono sestico. Se 

 ne conchiude che proiettando il sistema delle rette di F dal punto doppio P si ottiene su 

 P il sistema delle corde di una sestica intersezione di una quadrica con una superficie 

 cubica. Per ogni punto di P usciranno sei corde di questa sestica le quali staranno su un 

 cono quadrico, e così ritroviamo una proprietà nota di quella sestica. Per le varietà cu- 

 biche i cui sistemi di rette si compongono di più sistemi parziali, il cono sestico 

 uscente da un punto doppio si spezzerà e i vari sistemi parziali di rette saranno rispet- 

 tivamente corde dei vari coni parziali e rette secanti comuni. 



Se una varietà cubica F ha due punti doppi e quindi contiene la retta congiungente 

 di questi, lo spazio tangente a F in un altro punto di questa retta darà per sezione una 

 superficie cubica con tre punti doppi su quella retta, cioè una rigata cubica avente quella 

 retta per retta doppia : quello spazio sarà perciò tangente a F lungo quella retta. 



Varietà cubiche contenenti piani. 

 Loro contorni apparenti. 



5. Una varietà cubica F contenga un piano tt (semplice). Allora gli spazi pas- 

 santi per questo segheranno ancora F in una oo* di quadriche, le quali taglieranno 

 il piano in un sistema oo^ di coniche ; ognuno di quegli spazi essendo tangente a F 

 lungo la conica corrispondente, segue che per ogni punto di n passa una sola di 



(*) la generale {ovunque sia P) la proiezione della superficie parabolica di r ( intei sezione di 

 questa varietà colla sua Hessiana) darà il luogo di un punto tale che una delle sestuple di tangenti 

 doppie di F uscenti da esso si- scinde in due terne poste risp. su due piani. 



(**) Questo fatto ci servirà, quando f abbia più punti doppi, a l'iconoscere se e come si decom- 

 ponga il cono sestico di rette di r uscente da uno qualunque di quei punti, giovandoci 'come quaìclie 

 volta faremo senza dirlo) delle note degenerazioni che può presentare una sestica sghemba. 



