6 SULLE VARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



e la 2' equazione si otterrà dalla T mediante il solo cambiamento di x.^ in cx.^, 

 il che rappresenta ancora una trasformazione omologica di centro P. La proposizione 

 enunciata rimane dunque stabilita. 



Da essa segue che il numero delle costanti di una specie qualunque di F^' a 

 sestica cuspidale è sempre dato dal numero delle costanti della corrispondente specie 

 di varietà cubiche diminuito di 5 unità, il che può servire utilmente per la deter- 

 minazione delle costanti di certe specie particolari di che s' incontreranno in 

 seguito. 



2. Se P è un punto semplice di F, la sua 21'^ polare è tangente in P a F ; 

 lo spazio li tangente comune in P sega F in una superficie cubica avente in P un 

 punto doppio, e la 31- nel cono quadrico tangente a quella superficie in P. Ne segue 

 che per ogni punto P di F passano 6 rette che costituiscono l'intersezione di F con 



10 spazio tangente e con la 21' polare di P. La S'""^ di contatto di F col cono ad 

 essa circoscritto da P ha in P un punto doppio e contiene quelle tJ rette. La sua 

 proiezione da P su li, cioè il contorno apparente F^ di F, avrà evidentemente un piano 

 tangente lungo una conica, cioè il piano u. intersezione di J2 con II, e punti doppi 

 su quella conica, intersezioni di li con le (3 rette di F uscenti da P. 



Così se la varietà F passa pel punto 5, la sua equazione ordinata rispetto ad 

 X. essendo allora della forma : 



a j + 2 0^, x.^ + «3 = , 



11 suo contorno apparente rispetto al punto 5 sarà: 



«^o — «j a, = , 



e quest'equazione rappresenta appunto una superficie che è toccata dal piano = 

 lungo una conica a, = , e che ha per punti doppi i sei punti comuni ad 0^ = 0, 

 «2=0, «3 = 0. 



Viceversa, essendo chiaro che in x.= ogni superficie del 4° ordine, toccata da un 

 piano = lungo una conica a., = si può rappresentare con un'equazione di quella 

 forma, ne segue che : ogni sicpcrficie del 4** ordine con un piano tangente lungo una 

 conica si xìuò ottenere come contorno apparente di una varietà cubica rispetto ad 

 un suo punto. Vale poi ancora in questo caso la proposizione che due varietà le 

 quali diano rispetto ad un punto una stessa superficie JF* come contorno apparente, 

 sono omologiche rispetto a quel punto come centro, il che si dimostra con un ra- 

 gionamento analogo a quello fatto al numero precedente pel caso di F^, e se ne 

 può trarre similmente una relazione fra il numero delle costanti di una specie qua- 

 lunque di varietà cubiche e quello della corrispondente specie di superficie F^. 



Osserviamo ancora che tin punto doppio D' del contorno apparente F della 

 varietà cubica F rispetto al punto P, il quale non provenga da una retta di V 

 uscente da P {cioè non stia nel piano singolare [x di F'*), nè da una tangente 

 tripunta di Y uscente da P [cioè non sia un punto della sestica cuspidale di F^), 

 sarà certo la proiezione di un punto doppio D di F; perocché in ogni piano pas- 

 sante per la retta PD' la cubica sezione di F dev'esser tale che due delle sue tan- 



