4 SULLE VARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



guire quello delle varietà cubiche con punti doppi di specie superiore, delle varietà 

 con linee doppie ordinarie o di specie superiore (ad esempio della varietà delle corde 

 di una quartica razionale normale) e di quella con un piano doppio. Infine mostro 

 come le varietà cubiche con punti doppi forniscano la teoria di certe notevoli tra- 

 sformazioni doppie e triple dello spazio ordinario (*). 



Torino, Dicembre 1887. 



Generalità sulle varietà cubiche 

 e sui loro contorni apparenti. 



1. Indichiamo con F una varietà cubica qualunque (**). Se da un punto P 

 le si circoscrive un cono, questo segherà uno spazio R (non passante P) secondo 

 una superficie, contorno apparente di V corrispondente al punto P, che sarà del 6" 

 del 4° ordine secondo che P è fuori di f o ne è un punto semplice. Indicheremo 

 rispettivamente con F'^^ o F" (ed in generale con F) quella superficie. 



È chiaro che essa è la proiezione fatta da P su i2 della superficie di contatto 

 del cono circoscritto, vale a dire dell'intersezione S'-^ di V colla varietà polare 

 di P rispetto a F. Se F ha punti doppi, essi staranno su questa M^, e quindi sa- 

 ranno punti doppi per la S--'^ ; sicché la superficie F avrà nelle loro proiezioni 

 altrettanti punti doppi. 



Supponendo anzitutto che P non stia su F, lo spazio polare di P rispetto a 

 questa varietà sega S'-"^ in una curva C"--^, luogo dei punti di contatto delle tan- 

 genti tripunte di F che passano per P. La proiezione di quella curva sarà una curva 

 cuspidale di P", sicché questa superficie gode della proprietà di avere per linea 

 cuspidale una curva del 6° ordine situata su di una quadrica. 



Se il punto P si prende come punto fondamentale 5, l'equazione di F si può 

 sempre mettere sotto la forma : 

 a;\+2)rr.+ 5' = , 



dimensioni degli Atti di questa illustre Accademia (Voi. XXII). In essa annunciavo la presente Me- 

 moria e ne accennavo alcuni dei risultati principali, all' infuori di quelli particolari relativi alla par- 

 ticolare varietà cui la Nota era destinata. Alcuni mesi dopo usciva negli Atti del R. Istituto Veneto 

 sei". 6, voi. V una .Memoria del sig. G. Gastelnuovo: Sopra uno. congruema del 3" ordine e 6^ classe 

 dello spasio a quattro dimensioni e sulle sue proiezioni nello spazio ordinario, nella quale è studiata 

 la varietà cubica con 6 punti doppi generata da tre reti proiettive nel caso più generale e ne son fatte 

 quelle stesse applicazioni che io ne avevo fatte ed annunciate (coincidenza che l'egregio A. ignorava) ; 

 inoltre vi è promesso un altro lavoro che conterrà dei casi particolari di quello, tra i quali appunto 

 quello che dà origine ad un modo di studiare la nota superficie di Kummer di 4° ordine e 4» classe 

 e che era stato sviluppato nella mia Nota su nominata. La Memoria publicata e quella promessa dal 

 sig. Gastelnuovo conterranno perciò varie cose da me ottenute e che qui espongo intorno alle va- 

 rietà cubiche generabili con tre reti proiettive ; però dall' esame di quella publicata sono indotto a 

 credere che alcune delle questioni da me risolte su quest'argomento non si troveranno trattate in quelle. 



(♦) k\ chiar°. sig. M. Pieri pel gentile aiuto prestatomi nella publicazione di questo lavoro i miei 

 vivissimi ringraziamenti. 



[** I Per varietà, superficie, curva, intendiamo luoghi risp. a 3, 2, 1 dimensioni; quelli lineari si 

 diranno risp. spasio, piano, retta. — Tra le varietà cubiche escluderemo quasi sempre quelle ridut- 

 tibili ed i coni. Ci varremo poi spesso tacitamente di proposizioni relative alla teoria della polarità 

 rispetto ad una vai'itìtà cubica, potendosi questa teoria riguardare come nota. 



