DI F. SIACCI 



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Vorzeichens der Quadratwurzel, enthalt, aber auch andrerseits, wie im III und IV 

 Abschnitt gezeigt wird, aus den Gausschen Formeln hergeleitet werden kann. Die 

 niichsten drei Abschnitte sind der Suramation verschiedener Reihen gewidmet, welche 

 den Gaussschen Reihen analog aber aus andern trigonometrischen Functionen als sinus 

 und cosinus gebildet sind, und deren Werthbestimmung Avird in den darauf folgenden 

 vier Abschnitten mit den aus der Kreistheilung hervorgehenden Losungen der Pellscben 

 Gleichung in Verbindung gebracht. Im XII Abschnitte giebt Genocchi fiìr zwei be- 

 liebige ungrade Zahien m, n, die zu einander relativ prim sind, einen algebi'aischen 

 aus «ten Wurzeln der Eiiiheit zusammengesetzten Ausdruck, welcher gleich + 1 oder 

 gleich — 1 wird, je nachdem die Anzahl der absolut kleinsten Reste der Division von : 



grado oder ungrade ist, und da dieser Ausdruck sich von demjenigen, bei welchem m mit 



fur den Fall, wo m und n Prirazahlen sind, unmittelbar das Reciprocitatsgesetz. Durch 

 cine geschickte Abstraction von den hierbei benutzten algebraischen Hiilfsmitteln ge- 

 langt Genocchi alsdann im XIII Abschnitte zu einem sehr einfachen , rein arithrae- 

 tischen Beweise des Reciprocitiitsgesetzes fiir die quadratischen Reste und schliesst im 

 darauf folgenden letzten Abschnitte mit einer Herleitung der Transformation der Tlieta- 

 Reihen, welche, wenigstens àusserlich, wieder an den Inhalt des I Abschnittes ankniìpft. 



Dass auch ein tiefer innerer Zusammenhang zwischen den im ersten und den im 

 letzten Abschnitte enthaltenen Entwickelungen besteht , habe ich in meinem am 29 

 Juli 1880 in der hiesigen Akadeniie vorgelesenen Aufsatze uber den viertcn Gauss- 

 schen Beweis des Reciprocitatsgesetzes dargelegt, freilich ohne die Abhandlung von 

 Genocchi zu kennen. Denn ich bin auf diese erst durch eine briefliche Mittheilung 

 aufmerksam geworden, welche mir Genocchi von Turin am 19 Januar 1881 gemacht 

 hat, und in welcher es heisst : Vos récentes Communications à l'Académie de Berlin et 

 surtout celle du 29 juillet 1880 m'ont fait penser que peut-ètre il ne vous serait 

 pas désagréable de connaìtre une déraonstration déjà fort ancienne des formules cé- 

 lèbres de Gauss que j'avais donné dans une « Note sur la théorie des résidus qua- 

 dratiques présentée en 1852 à l'Académie de Bruxelles et publiée par elle ». Ich 

 hiltte, wenn mir zur damaligen Zeit die Abhandlung bekannt gewesen wiire, schon in 

 meiner der. hiesigen Akademie am 22 Juni 1876 gemachten Mittheilung Veranlassung 

 gehabt, anzufiihren, dass Genocchi im art. XII mit denselben algebraischen Hiilfs- 

 mitteln, welche ich im § 1 angewandt habe, und im ai-t. XIII nach einer davon abstra- 

 hirten, rein arithmetischen Methode, von welcher die in den §§ 2 und 3 meiner Mittheilung 

 angegebene allerdings wesentlich abweicht, fiir zwei beliebige ungrade Zahien m, n ohne 

 gemeinschaftlichen Theiler die Reciprocitatsbeziehung zwischen zwei Bestimmungen von 

 ±b 1 abgeleitet hat, welche von Hrn. Schering und von mir als gleichbedeutend mit den 



von Jacobi verallgemeinerten Legendreschen Zeichenbestimmungen : ( — ), ( — ) erkannt 



worden sind. Das erhohe Interesse, welches den Genocchischen Entwickelungen in 



m, 2m, 'àm, ...-(»— 1) ?>i 



n vertauscht ist, nur durch den Factor (— 1) 



unterscheidet , so resultirt 



Serie IL Tom. XXXIX. 



