§ 1. 



Eine Gleichung 



(1) _ ^ /a »0 = 



wird vollständig dargestellt durch ein solches geometrisches Forraensystem, dass jedera 

 Werthpaare (I, rf) ein geometrisches Gebilde oder Element entspricht, und umgekehrt. 

 Die gewöhnlichen Systeme, die nach der Art dieses Elementargebildes entweder Punkt- 

 oder Linien-Coordinatensysteme genannt werden, liefern bekanntlich nur Darstellungen 

 der reellen I- und »^-Werthe. 



Diescr Umstand begrundet eine oftmals hervortretende Divergenz zAvischen der 

 Analysis iind der Geometrie. Entweder muss man bei der Anwendiing der analytischen 

 Resultate auf die geometriscben Grössen immer Ausnahmen ftlr die complexen Werthe 

 machen, oder werden, wenn man dieses der Conseqvenz wegen unterlässt, die erhaltenen 

 s. g. geometrischen Sätze nur symbolische Ausdriicke analytischer Wahrheiten ohne 

 entsprechende Wirklichkeit im Raume. So ist z. B. der Satz: "Ein Kegelschnitt wird 

 von jeder Gerade in zwei Punkten geschnitten", nur in der Meinung wahr, dass zwei 

 Gleichungen in ^ und % vom ersten und zweiten G rade resp., immer zwei gemeinsame 

 Wurzelsysteme haben; von den Avirklichen Kegelschnitten und Geraden gilt derselbe 

 dagegen offenbar nicht. 



Dieser Mangel macht sich bei gewissen Gelegenheiten besonders fiihlbar, nämlich 

 in Betreff verschiedener Sätze, deren geometrischer Ausdruck ganz paradox er- 

 sclieint; z. B,: 



"Der durch die Drehung eines rechten Winkels um seinen Scheitel erzeugte in- 

 volutorische Btlschel hat zwei Doppelstrahlen"; 



"Jede nach einem der unendlich entfernten Kreispunkte gehende Gerade ist auf 

 sich selbst senkrecht"; 



"Zwei ähnliche, ähnlich gelegene und concentrische Ellipsen beriihren einander in 

 zwei Punkten in unendlicher Entfernung"; 



"Alle confocale Kegelschnitte sind in demselben Vierseite eingeschrieben"; 



"Von jedem der unendlich entfernten Kreispunkte gehen zwei Tangenten, die 

 zugleich Normalen sind, an einen beliebigen Kegelschnitt." 



Wir beabsichtigen hier ein Formensystem darzustellen, das den obengenannten 

 Forderungen geniigt, wodurch also alle die analytischen Eigenschaften der Gleichung (1) 

 geometrisch veranschaulicht werden können, und das sich zugleich der gewöhnlichsten 

 Repräsentation so nahe wie möglich anschliesst, indem es die Cartesische Kurve als 

 Theil in sich enthält. 



