6 c . F. K. BJÖRLIXG. DARSTELLUXG EINER GLEICHUXG Z^^^f^CHEN ZWEI VERÄNDERLICHEN GRÖSSEN. 



Ordinaten-Ebene ihre resp. Kurven Is uiid ^5' Avird hier die "primrire" oder Ab- 



scisseu-Kurve, die "sekundäre" oder Ordinateii-Kurve genarint. 



Uragekehrt erhält inan, wenn die Variation der unabbängigen Veränderlichen | 

 (die primäre K.) gegeben ist, daraus die der abbängigen }, (die sekundiire K.) diircb 

 drei successive orthogonale Projektionen. Man projicirt nänilicb 



l:o) die primäre Kurve ii' mittelst borizontaler Strablen auf die Z'-Fläehe; 



2:o) die erbaltene Scbnittkurve zz' mittelst vertikaler Strablen auf die ?.^-Fläche; 



3:o) die erbaltene Scbnittkurve un' mittelst borizontaler Strablen auf die Ordi- 

 naten-Ebene. 



Diese drei Oi)erationen nennen Avir kurz eine " T'-Kurven-Transforniation". 

 Beispiele: 1) Die I^^-Gerade i] =■ a '§ -\- h giebt 



(1) y — Ax cos (i — Az sin « -j- , 



(2) M ~ Ax sin « -)- Az cos " -\- b^. 



Die F-Geraden-Transformation entspriclit also gewöbnlicber Coordinaten-Trans- 

 formation nebst Grössen-Veränderung. Die Constante b giebt die Lage des neuen An- 

 fangspunktes an; der Modulus A des Ricbtungscoefficienten a die Skala der Grössen- 

 Veränderung; seine Amplitude a den Winkel der Axensysteme. 



2) Die FiMIyperbel $// = A' giebt 



(3) Qo = A', 9; 4- (/; = 0. 



Die T^-Kurven-Transformation ist also in diesem Falle mit circularer Inversion 

 identiscb. Die constante A ist der Halbmesser des Fundaraental-Kreises. 



§ -I- 



In der Gleicbung (1, I) sei die böcbste Potenz von t]. Jedem angenommenen 

 l-Wertbe miissen dann m »/-Werthe entsprecben, d. b. jedem Wertbpaare {x, z) m \\ ertb- 

 jjaare (y, u). 



Wir setzen erstens voraus, dass die m y- und die m </-Wertbe untereinander ver- 

 scbieden sind. Zieben wir dann aus dem angenommenen Punkte in der Abscissen-Ebene 

 eine borizontale Gerade, parallel zur y-Axe, so muss dieselbe die .Z-Fläclie in m ver- 

 scbiedenen Punkten {x, y, z) treffen. Es sei z einer von diesen. Eine Vertikale durch 

 diesen Punkt trifft die ^^^-Fläcbe wenigstens in einem, gewöbnlicb in mebreren Punkten. 

 Ein einziger von ibnen ist mit z conjuc/irt, d. b. biidet mit demselben einen F-Punkt. 

 Wir bezeicbnen die Tbeile oder Scbalen der beiden Fläcben, worauf conjugirte Punkte 

 liegen, als selber conjugirte. Zwei solcbe baben offenbar dieselbe borizontale Aus- 

 streckung, d. b. ibre Projektionen auf die ^ry-Ebene fallen zusamraen. 



Es kann sicli ereignen, dass von den m dem angenommenen |-\Vertbe ent- 

 sprecbenden '/-Wertben zwei denselben reellen Tbeil y baben. In solcbem Falle verei- 

 nigen sicb von den genannten m Punkten, worin die durch den I-Punkt parallel zur 

 y-Axe gezogene Gerade die .2^-Fläcbe trifft, zwei zu einem einzigen. Derselbe ist also 

 mit zwei u-Punkten conjugirt; wir benennen ibn einen Doppelpiinkt. Es wird in § 16 

 bewiesen werden, dass derselbe wirklicb ein "Doppelpunkt" im gcAvöbnlichem Sinne des 

 Wortes ist. 



