KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. 13. N:0 4. 



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Die Betlingung ffir die Existenz eines solchen Doppelpunktes ist min offenbar, 

 dass einein Werthsysteme {x,y,z) zwei i*-Werthe entsprechen, oder m. a. \\'., dass die 

 Gleichungen (2, 5) nnd (2, 6), in Bezug auf u gelöst, zwei gemeinsame Wurzeln haben. 

 Dieses giebt zwei Bedingungsgleichungen zwischen x,y,z, d. h. noch eine zweite 13e- 

 dingung ausser der Gleichung der Z-Fläche, folglich eine Kurve in dieser Fläche. Die 

 Doppelpunkte sind also zu Doppelkurven vereinigt. 



Es folgt hieraus, dass die halbreellen Kurven der Fi?-Kurven immer doppelt sind. 

 Denn weil dic Gleichungen (2,11) in Bezug auf -\-z,-{- u und — z, — u symrnetrisch 

 sind, so muss ein Punkt der ^-Fläche {x = Ä, y — B, z = 0), der mit dem »-Punkte 

 {x = A, y — B, u = -\- C) conjugirt ist, auch mit {x ~ A, y — B, u ~ — C) conjugirt 

 sein, wenigstens wenn C nicht unendlich ist. 



Es kann endlich vorkommen, dass von den obengenannten m 2r-Punkten ^9 in 

 einen zusammenfallen. Derselbe ist mit p ^^-Punkten conjugirt; wir bezeichnen ihn als 

 ^)-fach. Seine Coordinaten x,y,z miissen p Bedingungen geniigen; sein Grad/» kann 

 niemals m iibersteigen; er liegt in der Doppelkurve seiner Fläche. 



§ 5. 



Wenn von den einem angenomnienen |^ j werthe entsprechenden |^ jwerthen zwei 

 zusammenfallen, so ist ^J' \ = 0. Wir bezeichnen einen solchen F-Punkt als kritisch in 



Bezug auf |||, oder kurz || j^-nVisc/i. Seine geometrische Eigenthtimlichkeit wird in § 18 



dargethan werden. Weil derselbe aus dem Gleichungssysteme |y_j^f^_|o bestimmt 

 wird, so hat die F-Kurve Grades n{n — 1) solche F-Punkte. 



Die Existenz eines solchen || jkritischen F-Punktes bedingt erstens, dass dem 



betreffenden jwerthe zwei gleiche |^ jWerthe entsprechen. Also liegen die jPw^i^te 



der || j/fcriYz.sc/ien V-Punkte in der Doppelkurve der j"^ 



Wenn in einem T^-Punkte die p ersten partiellen DifFerentialqvotienten von /(^, >;) 

 in Bezug auf ||| gleichzeitig verschwinden, so sind von den dem angenommenen 



|^_|werthe entsprechenden jWerthen p untcreinander gleich. Wir bezeichnen einen 



solchen F-Punkt als p-fach || |^r?Yi5c/2. Sein |^^~|Punkt ist p-fach. 



§ 6. 



Eine besondere Art der in § 5 erwähntcn F-Punkte sind scdche, fiir welche 

 f's — f'n = O, und welche also in Bezug auf sowohl | als »/ kritisch sind. Wir bezeichnen 



