8 c. F. E. BJÖRLING. DARSTELLUNG EINER GLEICHUNG ZWISCHEN ZWEI VERÄNDERLICHEN GRÖSSEN. 



sie als V-Doppelpunkte. Es ergiebt sich aus § 5, dass ihre sowohl z- als Punkte in 

 den Doppclkurven der resp. Flächen liegen. Ein V-Doppelpimkt besteht also von zwei 

 conjugirten Doppelpunkten. 



Wenn in einem F-Punkte die p ersten partiellen Differentialqvotienten von /(I, »/) 

 in Bezug auf sowohl ^ als t] gleich/eitig verschwinden, so ist derselbe p-fach. Er besteht 

 von zwei conjugirten ^>»-faehen Punkten. 



§ 7. 



Um (las vorige mit Beispielen zu erläutern betrachten wir erstens den T"Ä-Kreis 



(1) ^'^-{-rr^Al 

 Die Gleichungen (2, 5) und (2, 6) werden 



(2) x^-^-y^-z^-ii^^A', 



(3) xz-\-yu^O', 

 die der Z- und Z7-Flächen also 



(4) {x^^y')z^ = {ar+y^-A:^)y\ 



(5) _ - _ + = + 



diese wird offenbar aus jener durch Vertauschen von x und y, d. h. durch eine Ro- 

 tation von yO° um die vertikale Axe, erhalten. Es geniigt also die ^^-Fläche zu un- 

 tersuchen. 



Dieselbe (Fig. 3) ^) ist in Bezug auf alle drei Coordinaten-Ebenen syminetrisch; 

 ihre reelle Kurve ist der Kreis x^ -\- y^^ = A\ Innerhalb des vertikalen Cylinders, der 

 diesen Kreis zur Leitlinie hat, besitzt die Fläche keine Punkte; ihre halbreelle Doppel- 

 kurve, die ^-Axe, ist also zAvischen den Punkten x — ±_ A abgebrochen. 



Wir schneiden die Fläche mit einer vertikalen, um die 2^- Axe rotirenden, Ebene, 

 die mit der a;^-Ebene den Winkel « biidet. Die Gleichung der Schnittkurve, durch die 

 Substitution 



(6) x = x^ cos a, y -- a\ sin a 

 erhalten, ist 



(7) - 4- = A'-, 



dieselbe ist also eine Hyperbel, deren reelle Axe immer horizontal und = A ist, Avährend 

 der Winkel der Asymptoten von O (fiir ct = 0) bis 90° (fur a 90°) wächst. 



Es folgt aus (3), dass in den i^^''^^.®" und diitten 1 _2.y.Qyr^(jp^j^tgj^ (\^ wenn 

 ° ^ ^ (zweiten und viertenj 



X und v von j^^G^^selben 1 Zeichen sind, die coniuojirten Flächentheile an 



lentgegengesetztemj ° 



(entgeo^engesetzterl c -j. 1 •n^ ^■ 



Iderselben I ^ xy-hbene liegen. 



') In den Fig. 3, 11 — 17 sind die Schnittkurveu der betreffenden Flächen mit drei verschiedenen Horizontal- 

 ebencn durch verschiedenartige Linien gezeichnet. Die vollzogene Linie stellt die Spur der Fläche ii) der 

 .r^-Ebene (ihre reelle und halbreelle Kurve) vor; ihre Spur in der nächst höheren llorizoiitalebene ist ge- 

 strichelt, in der höchsten punktirt. 



