KONGL. SV. VET. AKADKMIKNR IIANDLINGAH. HAND. 13. N:0 4. 



Weil iiuii (Heses Fhlchenpaar clie Gleichiuig (1) vollstandig repräsentirt, so mnsseii 

 vennittelst desselben alle die analytischen Eigeiiscliafteii dieser Gleiclnnig- oeometriscli 

 veraiiscliaulicht werdeii köniien. Wir betrachten als Beispiele die bciclen Fälle, wo dic 

 ^\n•undel•liche i' 



!:()) reell ist; 



2:o) den Kreis 



(8) x'-\-z'^B' 

 als Abscissen-Kurve beschreibt. 



l:o) In Fig. 4 bezeichnet die in der a,'y-Ebene gezogene Kurve (d)cd den ersten 

 Qvadranten des reellen Kreises, die Kurven feaef und dg Zweige der Schnitthyperbel 

 der U- und der ^-Fläche mit den xz- und ?/2-Ebenen, resp. Wenn nun die Veränder- 

 liehe ^ vom Anfangspunkte ausgeht, der a?-Axe folgend, so ist anfangs, wie gewöhnlicb, 

 der entsprechende ?]-Werlh von den reellen Kreis-Ordinaten (od,/ic,kb) angegeben; der 

 F-Punkt bewegt sich längs der Kreisperiferie von d bis a. Zu diesera letzten Punkte 

 angekommen, theilt sich der F-Punkt; sein 2r-Punkt geht immer in der .-c-Axe (der halb- 

 reellen Kurve der ^-Fläche), während sein ?/-Punkt längs dem einen oder anderen 

 Hyperbel-Zweige (acf, aéf) auf- oder nieder-steigt, Avie es die auf die Form 



(9) n = {y ui =) ± z" Yx^ — 

 gebrachte Gleiehung (1) fordert. 



2:o) In Fig. 5 haben die Kurven ahcd, feaef , dg dieselbe Bedeutung wie in Fig. 4; 

 kic, 0.(1, ir bezeichnen einen Qvadranten des primären Kreises (8) in den drei Fallen 

 a) B<A, b) B A, c) Ji > A. 



Im Falle a) kommt offenbar die durch die erste Projektion (§ 3, l:o)) erhaltene 

 Schnittkurve auf der ^-Fläche aus zwei getrennten Theilen, an der positiven und an 

 der negativen y-Seite resp., zu bestehen. Die zweite und dritte Projektion (§ 3, 2:o) 

 und 3:o)) geben folglicli auch, wie man es leicht ersehen kann, getrennte Kurven, und 

 das Resultat der letzten, die sekundäre Kurve, bekommt also die Form, die Fig. 6 

 zeigt. Wenn § m k (Fig. 5) ist, so befindet sich i] entweder in m oder in m (Fig 6 "^), 

 Wenn | ihren Primär-Kreis in der Richtung kk! einmal durchläuft, so muss auch die 

 Veränderliche ri das rechte oder das linke Oval (jenachdem sie in m oder in iii ur- 

 spriinglich gewesen) in der von den Pfeilen angezeigten Richtung zweimal durchlaufen; 

 sie kann aber niemals von der rechten Seite nach der linken oder umgekehrt heruber- 

 kommen. 



Im Falle b) hängen die im vorigen Falle bei der ersten Projektion getrennten 

 Kurven-Theile bei a (Fig. 5) zusammen. Bei der dritten Projektion trifft dieser Punkt 

 im Anfangspunkte eiii, und die sekundäre Kurve wird, wie es Fig. 6 b) zeigt, eine ge- 

 wöhnliche Lemniscate. Bei der Kreisbewegung der Veränderlichen kann nun >y von 

 der einen auf die andere Hälfte der Lemniscate durch den Punkt o heriiberkommen ; 

 sie kann aber ebensowohl an derselben Seite wie voraus bleiben. 



c): Der Punkt / (Fig. 5) bleibt in der ersten Projektion an seiner Stelle; in der 

 zweiten kommt er in e oder é, in der dritten in m oder m (Fig. 6 resp. Die beiden 



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