10 c. F. E. BJÖRLING. DARSTELLUXG EINER GLEICHUNG ZWISCHEN ZWEI VERÅNDERLICHEN GRÖSSEN. 



Hälften der sekuudären Kurve häiigen niin vollstäudig zusammen. Wenn I ihren Priraär- 

 Kreis in der Richtung //' eintnal durchliluft, geht rj in der von den Pfeilen ange- 

 gebenen Richtung entweder von m oder von ni aus, uni zu ilireiu Ausgangspunkte 

 wieder zuriickzakomnien. 



§ 8. 



Wir hetracliten deranächst die FJ?-Parabel 



(1) n l'- 



Die Gleichungen (2, 5) und (2, 6) Averden 



(2) y = ^=^-^^ 

 (8) n — 2xz', 

 die der Fläclien also 



(4) y=.a-'_^2, 



(5) u' = 4x' {x' — y). 



Jene ist ein hyperbolisches Paraboloid in der in Fig. 7 gezeichneten Lage; ilire 

 reelle Kurve ist natiirlich y — x', halbreelle fehlt, Die ^7-Fläche ist in Fig. 8 gezeichnet; 

 ihre reelle Kurve ist y — x'^, halbreelle die negative y-Axe. 



Aus (3) folgt, dass die conjugirten Flächentheile auf derselben oder entgegen- 

 gesetzten Seiten der a;y-Ebene liegen, jenachdera a: > oder < O ist. 



Wir betrachten folgende Fälle: 



l:o) I reell (z = 0). Wenn der ^-Punkt die a--Axe von — oo bis -j- oo durchläuft. 

 bewetft sicli der F-Punkt imraer auf der reellen Kurve. 



2:o) rj reell {u = 0). Während i] die y-Axe von -|- oo bis O durchläuft, folgt der 

 F-Punkt dem einen oder anderen Zweige der reellen Kurve bis zuni Anfangspunkte. 

 llier angekorninen, theilt sich der F-Punkt; sein ^/-Punkt bewegt sich in der negativen 

 y-Axe (der halbreellen Kurve der L^-Fläche), während sein ^-Punkt in der Schnittparabel 

 der Z-Fläche mit der yz-Ehene auf- oder nieder-steigt, wie es die auf die Form 



(6) X -|- zi — - ± i V — y 

 gebrachte Gleichung (1) fordert. 



3:o) x'^ -j- z'^ ^ ä\ § geht vom Punkte a (Fig. 9) in der positiven a;-Axe nach b 

 in der pos. z-Åxe. In der ersten Projektion kommt a in c auf der reellen Kurve; 

 h in (/ auf der soeben genannten Schnittparabel. Bei der zweiten Projektion bleibt c 

 auf seiner Stelle; d koramt in / auf der halbreellen Kurve der Z7-Fläche. Bei der dritten 

 kommt c in e; f bleibt an seiner Stelle. Während ^ einen Kreisqvadranten ab zuruckgelegt 

 hat, ist also t] von e nach / gegangen; es hat also zivei Qvadranten durchlaufen. 



4:o) Aus (2) und (3) erhält man 



(7) 2x dx — dy — 'Izdz = O, 



(8) 2z dx + 'ixdz — du = O, 

 folglich 



{S)) 2 {x' + z') dx — X dy — z du - 0. 



