KONGL. SV. VKT. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. 13. N:0 4. 17 



Bezeichnen wir iiämlich mit 



(1) 5"= A'-f Zz,//- F+ Ui 



die laufenden Coordinaten der F-Tangente, so ist ihre Gleichung bekanntlich 



(2) (S-^)fi + (IJ-rj)f'r, =0. 

 Setzen wir mm, wie gewöhnlich, 



(3) A 



12 12 



SO erhalteii wir aus (2) durch Zerlegung 



(4) {X - x) f.r + ( r - -{z- z)f. -{u- ri) fy = o, 



1 12 2 



(5) {X-x)l\ + ( r - y) / , + (Z - z)f'. + {U- u) fy^O; 



2 2 11 



und folglich, wenn wir erstens {U — u), zweitens (Z — z) eliminiren, 



(6) {X-x) {f\fy +/.„./',) + {Y-y) (/,+/';) -^{Z-z) {f\f'y -f.fy) = O, 



1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 



(7) (X- x) {fl +/:•) + (Y-y) if.fy -^f.fy) + {U-u) {f.fy -f.fy) = 0. 



1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 



Anderseits erhält man durcli Differentiatiou von (2, 5) und (2, G) 



(8) dx + dy +/; dz da = O, 



1 111 



(9) /. dx + /, dy +/ . dz +/'„ du - O ; 



2 2 2 2 



und folglich, wenn man erstens du, zweitens dz eliminirt, 



{f.fu -f.fu) dx + {fyfu-fyfu) dy + " / V«) dz = O, 



12 21 12 21 12 21 



(11) (A .A - /'^/'O dx + {fyf. -fyf.) dy + -fuf.) du = 0; 



12 21 12 :^1 12 21 



aus diesen Gleichungen Averden bekanntlich diejenigen der Berilhrungs-Ebenen der 

 beiden Flächen erhalten, wenn man die Differentiale dx, dy, dz, du durch X — x, Y — y, 

 Z — z, U — u, resp., ersetzt. Weil aber, in Folge der Monogeneität der Funktion /, 



(12) / z — fx , f z— f o:, ju = j y, f u ~ f y, 



1 2 2 11 -i 2 \ 



SO werden offenbar die Resultate dieser Substitution mit (6) und (7) identisch. 



Hieraus ergiebt sich die geometrische Bedeutung des Differentialqvotienten 

 Denn weil derselbe der Richtungscoefficient der F-Tangente ist, so bedeutet offenbar 



der Modulus des Differentialqvotienten die trigonometrische jy^^^^^f^^^^^j des halben 

 Scheitelwinhels des Rotationskegels, dessen Åxe zur ^Axe parallel ist, und den die Be- 



riihrungs-Ebene der j"^ ^Fläche im Punkte ^' ^| beriihrt; 



die Ämplitude des Differentialqvotienten das Azimuth der Generatricen, längs denen 

 diese Kegel von den Beriihrungs-Ebenen beruhrt werden. 



K. Vet. Akad. Handl. B. 13. N:o i. 



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