KOXGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. 13. N:0 4. 19 



d. h. 



(4) R (cos P + i sin P) — \ , 



I 2 



SO erliält man, naeh Zerlegung und Reduktion, 



I + /'i j X f y J ' f y 

 /?2 ^ J L_ lo- t) _ ? ! L L_ 



§ 18. 



Von diesen Formeln lassen sich nun Folgerungen ziehen in den Fallen, wo zwei 

 der partiellen Difterentialqvotienten f'x, fy, f'x, fy, aber nicht alle, gleichzeitig ver- 



112 2 



schAvinden. 



l:o) 



/', = f^ = 0. I /'.,- - - 0. 



11 I 2 2 



Aus (17, 5) folgt 



i?'-()rJ-)',tgP- 0. ! i?'' = /^r,tgP= 0. 



Die beiden Ebenen der T-Tangente fallen also zu einer einzigen vertikalen zu- 

 sammen (§ 9, 2:o). 



2:o) 



fr - fy = 0. I f. =-■ fy = 0. 



Dieselbe Formel giebt 



P= + OO. 



I \J y I ■ 



I '2 



z-\ 



Die Beriihrungs-Ebene der |£7|Fläche ist also senkrecht auf die j^^ jEbene; ihre 



Horizontalspur ist parallel zur |^ jx^xe (§ 9, 3:o). 



(fx f\ = O, also A = 0. Die ^-j 

 3:o) V %, /> 1 j." A rk- Ikritischen F-Punkte. Die Gleichung 

 ""'/^ = Die H 



(17, 5) giebt i? = | ^ |. Die Beriih rungs-Ebene der j'^ jFläche wird also zur j jEbene 



parallel; die der |^_|Fläche reducirt sich zu einer, in jener belegenen, zur |^ |Axe pa- 



rallelen Gerade (§ 10, b); diese beriihrt folglich alle die auf dieser Fläche gezogenen 

 Kurven, die durch den betreffenden Punkt gehen (II). 



Die l^ jPunkte dieser F-Punkte liegen in der Doppelkurve der |^ jFläche (§ 5). 

 In einem solchen Punkte mtissen die beiden Beriihrungs-Ebenen zusammenfallen, d. h. 



