20 c. F. E. BJÖRLING. DARSTELLUNG EINER GLEICHUNG ZWTSCHEX ZWEI VERÅNDERLICHEN GRÖSSEN. 



der Punkt ist uniplanar, ') denii die beiden darait conjugirten jPunkte fallen zusam- 

 inen, und die '"^'jFläche hat in diesem Punkte eine einzige Beriihrungs-Ebene, nämlich, 

 wie soeben gesagt ist, eine zur j^^^ jEbene parallele (III). 



§ 19. 



Wenn in einem F-Punkte alle die vier partiellen Differentialqvotienten fx,f',j,f'x, fy 



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gleichzeitig verschwinden, also /'{ = /',, — O ist, so ist derselbe mehrfach (§ 6). Wir 

 setzen erstens voraus, dass nicht /V — / 'l») /' = O sei. Der Differentialqvotient 

 ^ hat dann zwei Werthe, bestiramt von der Gleichung 

 (1) . /'V drr + 2/"|, dri -^/"^ cie - 0. 



Die beiden conjugirten Punkte sind Doppelpunkte, jeder in seiner Fläche. Sie 

 sind uni- oder bi-planar, jenachdem die beiden ^-Wurzeln der Gleichung (1) gleich sind 

 oder nicht. 



Umgekehrt bilden immer zwei conjugirte Doppelpunkte einen F-Doppelpunkt. 

 Denn weil in jedem der beiden Punkte zwei Beriihrungs-Ebenen vorhanden sind, so 



muss ^ zwei Werthe haben. Dieses ist nicht möglich, insofern nicht /'^ = = O ist. 



Der F-Punkt sei ^-fach. Dann hat, nach der Definition, ^ p Werthe, also jede 



Fläche im betreffenden Punkte ebensoviele Beruhrungs-Ebenen. Umgekehrt bilden 

 immer zwei solche conjugirte Punkte einen p-fachen F-Punkt. 



Die jFläche kann also in einem Punkte mehr als eine Beriihrungs-Ebene haben. 



Die Anzahl dieser Ebenen ist doch immer endlich; sie ist niemals grösser als die An- 



zahl der Beruhrungs-Ebenen in allén mit dera betreffenden Punkte conjugirten |^ | 



Punkten. Es ergiebt sich also, dass die mehrfachen Punkte dieser Fläcken immer uni- 

 oder multi-planar sind, d. h. solche, deren Beriihruvgs-Kegel ^) nch in Ebenen aujiösen. 



§ 20. 



Es sei P ein Doppelpunkt der reellen Kurve einer Fi?-Kurve, also ein reeller 

 F-Doppelpunkt. Seine beiden conjugirten Punkte fallen zu einem Punkte der a;y-Ebene 

 zusammen; durch denselben gehen zwei Doppelkurven, eine in jeder Fläche. 



Wenn die ^-Wurzeln der Gleichung (19, 1) reell und ungleich sind, so ist P ein 



"Doppelpunkt mit reellen Zweigen". Jede Fläche hat zwei Beriihrungs-Ebenen, welche 



Cremoxa, 1. c. 



Bertrand, Calcul diÉférentiel S. 491. — Salmon, Analytic geometry of three dimensious. 2"'' ed. S. 207. 



