KONGL. SV. VET. AKADEMIENS IIANDLINGAK. BAND. 13. N:0 4. 



21 



vertikal sind uiid mit dencn der andcrn Flache zusamraenfallen. Die Tangenten der 

 beiden Doppelkurven sind also auch vertikal und zusammenfallend. 



Wenn die ^-Wurzeln imaginär sind, so ist F ein "isolirter Punkt". In Folge der 



synimetrischen Lage der beiden Berilhrungs-Ebenen jeder Fläche in Be/ug auf die xy- 

 Ebene, liegen die Tangenten der beiden Doppelkurven in dieser Ebene; die Kurven sind 

 also halbreelle Kurven, jede in ihrer Fläche. Unigekehrt ist imraer ein Schnittpunkt 

 der halbreellen Kurven der beiden Flächen ein "isolirter Punkt" der reellen Kurve, in- 

 sofern derselbe mit sieh selbst conjugirt ist. 



§ 21. 



V- Beriihr ungspunkte. Wenn die eine von zweien einander schneidenden F-Kurven 

 eine F-Gerade ist, so sind die Kurven ZZ' und UU' eben (§ 13). Wenn zwei der 

 F-Schnittpunkte zusammenfallen, so wird diese F-Gerade eine F-Tangente, d. h. ihre 

 Ebenen beriihren die resp. Flächen der F-Kurve. Der Beriihrungspunkt einer Tangential- 

 liibene mit ihrer Fläche ist bekanntlich immer ein Doppelpunkt in ihrer Schnittkurve, 

 dessen Tangenten (die osculirenden oder Inflexions-Tangenten) reell, zusammenfallend 

 oder imaginär sind, jenachdem der betreffende Flächenpunkt hyperbolisch, parabolisch 

 oder elliptisch ist. Die F-Kurven-Flächen haben aber keine elliptische Punkte (IV). 

 Ein F-Beriihrungspunkt einer F-Gerade mit einer F-Kurve ist also ein Paar Doppel- 

 punkte mit reellen Z^veigen in den (ebenen) Kurven ZZ und UU'. Dasselbe gilt von 

 ihren Projektionen in der Äjy-Ebene; die reellen Bilder der V-Beruhrung-^punkte sind also 

 Doppelpunkte mit reellen Zweigen in den Kurven t und v. 



Beispiel: Die Fi?-Parabel 4r} = §^ und ihre F-Tangente rj = |i -|- 1 im F-Punkte 

 = 2i, t] = — 1). Die Flächen der ersten sind 



(1) z' = — 4y, 4u' = x%x' — %); 

 die der zweiten 



(2) g -\- z = 1, X u; 

 die und t;-Kurven also 



(3) = (y + l)^ x\4{l -fy) - x^ = 0. 



Jede von ihnen hat einen Doppelpunkt in (x ~ O, g = — 1), der Projektion des 

 F-Berilhrungspunktes. 



§ 22. 



Wenn der F-Beriihrungspunkt einer F-Tangente sieh unendlich entfernt, so nähert 

 sich die F-Tangente einer gewissen festen F-Gerade, der V-Asgmptote (die jedoch auch 

 selbst unendlich entfernt sein kann). Die F-Kurven-Flächen besitzen also die Eigen- 

 schaft, dass ihre Berilhrungs-Ebenen, wenn der Beriihrungspunkt sich unendlich ent- 

 fernt, sich zu gewissen festen Ebenen nähern, d. h. die "Kegel der asymptotischen 

 Richtungen" ^) dieser Flächen lösen sich in Ebenen auf. Diese letzteren sind vertikal 



') Painvin, Recherche des points ä Tinfini sur les surfaces algébriques. Borchardts Journal Bd. 65. 



