24 c. F. E. BJÖRLING. DARSTELLUNG EINER GLEICHUNG ZWISCHEN ZWEI VERÄNDERLICHEN GRÖSSEN. 



(4) 21, . 21, = 25, . 23, ^ . 6, = 1 , 21, -f = 01, + = 1. 



Von den vier Punkten können drei Vierecke gebildet werden, nämlicli 



Von den Grundverhältnissen beziehen sich 



21, und 21, auf das erste Viereck, 



^, und ^, " » zweite » 



®, und (5, >' " d ritte » 



Wir bezeichnen nun mit 



ab die Länge (> 0) der Seite ab; 



mod (a) den Modulus I , , ^ .. 



, \ . , \ der complexen (jrosse w, 



am [a) die AmplitudeJ 



g den unendlich entfernten Punkt der Grundrichtung; 



a = (i dass die Differenz der reellen Grössen or und ein Multipel von 2n oder 



O beträgt; 



A abc den Winkel (begrenzt von — n und -|- n) zwischen den Richtungen bc und 



6a; derselbe ist von demselben Zeichen wie die Rotation von bc nach ba; 

 also ist 



(5) A abc — A abd = A dbc ^ — A cbd. 

 Weil nun 



(6) mod (a — b) — ab, und am{a — b) = A abg ist, 

 so wird 



(7) „w(ai,) = |^, 



(8) am (21,) = A acg + A bdg — A beg — A adg = A acb + A bda = A cad + A dbc. 



Der Modulus des Doppelverhältnisses ist also der Qvotient der Produkte zweier ent- 

 gegengesetzten ^) Seiten des Vierecks; die Amplitude die Differenz oder die Summe zweier 

 entgegengcsetzten Winkel, jenachdem zwei Seiten des Vierecks einander schneiden oder nicht.^) 



Die Bedingung der Realität des Doppelverhältnisses ist also, dass die vier Punkte 

 auf derselben Kreisperiferie liegen. Ihr Halbmesser kann unendlich gross sein. ^) 



Das Doppelverhältniss wird bekanntlich durch homographische Transformation 

 nicht geändert. Diese Transformation ist aber im gegenwärtigen Falle mit circularer 



^) d. h. nicht aufeinaiiderfolgenden. 



^) Lie, Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie (Verliand. d. Gesellschaft der Wissensch. in Chri- 

 stiania 1869). S. 9. 



