KONGL. SV. VET. AKADEMIENS IIANDLINGAK. BAND. 13. N:0 4. 



Inversion identisch. ^) Also ist das Doppelverhältniss von vier Punkten in einer Ebene 

 dasselbe wie das von den vier durch circnlare Inversion entsprechenden. 



§ 25. 



Im Falle 



(1) 21, = 51, - - 1, 33, = = 2, 33, 6, = ^ 



sind a, b, c, d vier harmonische Punkte, oder b(d, a, c) ist der harmonische Mittelpunkt fiir 

 c nnd d(a und b, d und c, b und a) in Bezug auf a{c, b, d) als Pol. 



Diese Definition kann in folgenden drei Weisen geschrieben werden: 



(2) ac . bd — ad . bc = 1^^^ , ani 



(3) ^ = _J I L_ 



^ ' h — an — n. ^ d — n.^ 



-T. 



(4) {b — ef — (c — e) {d - e), wo e = ^y^; 



und diese drei Formeln können folgendermassen in Worten ausgedrilckt werden: 



Die Rechtecke der eidgegengesetzten Seiten des Vierecks sind einander gleich and 

 halb so gross wie das Rechteck der Diagonalen; 



Wenn man die Punkte b, c, d durch circidare Inversion in Bezug auf a als Centrum 

 in drei andere b', c', d' transformirt, so ist b' Mittelpunkt zwischen c und d! ; 



Wenn e der Mittelpunkt zwischen a und b ist, so ist be das geometrische Mittel 

 zwischen ce und de, die Winkel ceb und deb sind gleich. 



Hieraus ergeben sich einfache Construktions-Methoden fur die Fälle, wo drei der 

 Punkte ffegeben sind. 



§ -26. 



• • • ^» seien n Punkte in der Abscissen-Ebene, Wurzelpunkte der Gleichung 

 = 0. Wenn die Summe der Produkte aus je m der n Qvotienten 



gleich Null ist, so sind die m Punkte I harmonische Mittelpunkte vom m^""' Grade fiir das 

 gegebene System I,, Ig» • • • ^« Bezug auf o als Pol. 



o sei unendlich entfernt. Die Summe der Produkte aus je n — m der n Faktoren 



(2) l-l,,.... l-^n 



soll dann gleich Null sein. Die Punkte i sind also Wurzelpunkte der Gleichung 



/■!» — m) f\ 



In einer F-Gerade seien n F-Punkte 



(3) i^2^V2)---'i^n,Vn) 



') LucAS, Théorie analytique des courbes planes. S. 187 (Paris 1864). 



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