Sullo sviluppo di una funzione reale di due variabili reali in serie ecc. 17 



La funzione cp (G) risulta in tali condizioni integrabile fra e 2tc, tale essendo, come 

 ben si sa , la f (x -f- p cos 6, y -f- p sen 6) per successioni infinite di valori di p , aventi 

 come limite lo zero. (*) 



Ciò posto riprendiamo la : 



+ CO f*-\- 00 



l — (H 2 -f-f 2 ) 



F (*',/, h,k) — j ! f(x' + hu,y'+ltv)e du dv. 



i 



co ./ — co 



Sia, come sopra, a una quantità positiva, abbastanza grande perchè si abbia 



(.14) 



F(x', /, h,k)- 



f (x' + hit, / + kv) e du dv 



— a J — a 



< 



Poniamo li = k, ed al posto di u e v sostituiamo rispettivamente p cos 0, p sen 0, ove 

 intendiamo, come sopra, che p vari fra o e -f- oc, e 6 fra o e 2x. La (14) diventa allora : 



'21i f'p (0) 



o J o 



ove p(0) indica una funzione di 0, definita nel seguente modo : 



p (0) = 



a 



COS 



0< 



\ 



■ 4 



0^ 

 0^ 



1C 



4 



271 



p(6) = 



a 



sen 6 



4 — 



0^ 



4 



p(0) = 



a 



~ cosi 



4 



0^ 



Ì21 



4 



p(0) = 



a 



~~ seni " 



4 



0^ 



4 



Vuol dire che sarà in ogni caso: 



(15) <7 <; p (0) <: « |/ 2 



Ora possiamo porre, per ogni p diverso da zero (k è per ipotesi tale) : 



/ (x' -+- kp cos 6 , / -f fcp sen 8) = <p (8) + (£p cos 8, fep sen 8). 

 L' uguaglianza non sussiste più per p = 0, giacché in tale caso il primo membro è 



C) Cfr. Ar\élh : Sulle serie ili funzioni; Memorie della R. Acc. di Bologna. Parte 2, § 3 1900. 



Atti Acc, Serie V, Vol. II, Mem. II. 3 



