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Carlo Severini 



[Memoria II. I 



se ne deduce, per ogni x, y e k (k > 0) : 



lini F (x, y, h, k) — (1) (x, v, k). 

 b = o 



Si ha inoltre per ogni x : 



sicché risulta in ultimo 



lini d> (.v, v, k) = / (*, v) 



k — o 



lini lim F (x, v, b, k) — / (x, v) 



Da ciò, per il risultato del § 4, si deduce il seguente teorema, che è una generaliz- 

 zazione di quello enunciato al § 6. 



Se f (x, y) è una funzione reale , ad un valore, delle variabili reali x ed y, 

 continua rispetto ad ognuna di qìieste ; limitata, doppiamente periodica, col periodo 

 'le rispetto ad x e col periodo 2d rispetto ad y, (c e d quantità positive) atta all'in- 

 tegrazione di campo per x e y, che soddisfano alle limitazioni : 



- C < X < -f c 

 - d < y < + d, 



condizione necessaria e sufficiente affinchè in un punto dato sia rappresentabile 

 mediante la serie doppia di Fourier 



00 20 ,, n-K tffit n-a miz n% mi: 



v v (l'm ,, cos — .v cos — ; — v + /' ,„.n cos — x sen — r v + c ,,, „ seti — x cos — r- v 4- 



- 1 n - J ,a C li C (I ■ ' C d " 



Il 



, II* HfJ. 



+ r ,„ „ seri x cos — -j- y) 



c d 



è che tale serie risulti in </uel punto convergente. 

 8. Passiamo ora ad un altro caso notevole. 



Supponiamo che in un punto assegnato x y' la / (x y) , per la quale s'intendono 

 sempre soddisfatte le condizioni del § l, ammetta un limite determinato e finito quando 

 il punto x, y tende ad x y, muovendosi lungo un raggio uscente da questo ; in altri 

 termini, posto 



x — x' -j~ p cos , y — v' + p sen 6 , 



per ogni 6 fìsso esista il 



lini /" ( x' -4- p cos 6 , y' + p sen 0) = ta (0 ). 

 p = o 



Supponiamo ancora che per tutti i valori di nell' intervallo (0 . . . 2%) , eccettuati 

 al più quelli di un insieme rinchiudibile, la convergenza della f (x' 4~ P c °s Q, y -\- p sen 0) 

 verso cp (8) sia uniforme. Esprimeremo ciò dicendo che detta convergenza è nell'intervallo 

 (0 . . . 2tc) generalmente uniforme. 



