Sullo sviluppo di una finizione reale di due variabili reali in serie ecc. 1 5 



la F {x, v, //, k) converge ad essa in eguale grado, al tendere a zero di // e k, potendosi 

 per un noto teorema di Cantor determinare le quantità £ e 5 in modo che si abbia, qua- 

 lunque siano x ed y ■ 



\( (a + 9e, y + rjò; -/ ( x,y) | ^ ~ 



ove 6 ed Vj rappresentano quantità comprese fra — 1 e -}- 1. 

 Si ha in questo caso il teorema : 



Se f (x, y) è una funzione reale, ad un valore, delle variabili reali x edy, fi- 

 nita, assolutamente continua, doppiamente periodica col periodo 2c rispetto alla 

 variabile x, col periodo IVI rispetto alla variabile y (c e d quantità positive), condi- 

 zione necessaria e su ffìciente affinchè sia in un punto dato rappresentabile me- 

 diante la ^erie doppia iti Fourier : 



00 00 UT HIT ,, UT HIT 



V V (b m „ cos x cos — — i - j- b ,„ „ cos x sen — — v -+- c m sen 



*4 n^m c d c a 







. ht hit , 



4- c m n sen x sen — — v), 



C d ' 



HT niT 

 x cos —r- v + 



è che tale serie risulti in quel punto convergente. 



7. Vogliamo ora vedere se, almeno sotto certe condizioni, che non importino per la 

 f (x y) la continuità, è possibile assegnare, in relazione alla f (x, y) medesima, il signi- 

 ficato della serie doppia di Fourier, supposta convergente. 



Ammettiamo che la / {x, y)~ ferme rimanendo le ipotesi poste al principio del § L, 

 sia continua rispetto ad x e rispetto ad v. 



In tali condizioni si vede subito che la : 



, ' -\- 00 



I / v ì 



<D (a, y, k) — — =- / f ( Xf y + kv) e dv 



. — • 00 



(§ 2) è, per ogni y e k rissi (le > 0) continua rispetto ad x ■ tale è infatti, se s' indica 

 con d una quantità positiva qualsivoglia, la funzione rappresentata dall' integrale : 



■ r" -, 



—j=~ I f (x, v + kv) e dv (») 

 J -d 



che al tendere di d all' infinito, converge in egual grado a $ (x, y, k) per tutti i valori 

 di x, y, e k. 



Riprendendo allora la : 



f- 00 / U X I 



F (x, y, h, k) — l $ (x> y m e \ » l j u 



ky TC " 



C) Cfr., Arida: Sulle serie di funzioni; 1. c. Parte seconda. $ 19. 



