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Carlo Se-verini 



[Memoria II. \ 



e siccome si può scrivere : 



( (x, V) — 



C -}- oc °o 



l I -- --r« 2 +^) 



f (x, r) e du dv 



OO J — OC 



e si ha quindi: 



/ (*, v) - 



'-f a /*-}-• iz 



/ (x, y) e 



du dv 



< 



risulta in ultimo, tutte le volte che h — . k <C 



(13) |f (A", V, k) —f(X, V) | < O,,;;/ + <*• 



Si ha pertanto il teorema : 



TV^/Zé' ipotesi dialisi dette, il valore assoluto della differenza^ in un punto dato, 

 fra la serie doppia di Fon rie r : 



00 x ,, >ix niT . n% m% ut m~ 

 ,„ v v ' bm n cos — x cos — v +/' ,n n cos — x sen — =- y + e.» „ sen .v cos —7- v -4- 







-4-c ,„ „ sen .v sen — — y). 



c d ■ 



supposta convergente, e la funzione f (x, y) non supera l' oscillazione della f (x, y) 

 in quel punto. 



Osservazione : Dalla disuguaglianza (13), tenendo presente il risultato del § 4, si 

 possono dedurre altri notevoli teoremi,, quando si ammetta la convergenza della (9) in 

 ogni punto di un dato campo. Per brevità tralasciamo di enunciarli. (*) 



6. Se in particolare la f (x, y) è nel punto x, y continua, si ha D^r y y = e dalla 

 (13) segue allora : 



lim F(x , v, k) - j (x . v) , 

 hzzzo 

 k=o 



Si può anzi aggiungere che se la / (x, y) è continua in tutto il campo : 



— c < x < + c 



— d < y < + d 



(*) Cfr. la mia Nota : Sulla rappresentazione delle funzioni reali ecc. ; Rend. del Circ. Mat. di Palermo 

 T. XIV, Ci 900). 



