Sullo sviluppo di una funzione reale di due variabili reali in serie ecc. 13 



supposta convergente rappresenta il limite, al quale tende, quando h e k tendono 

 comunque a sero, la : 



F (x,y,h,k) 



hkiz 



/ (u, v) e 



-so ' — oo 



Osservazione : Per la validità del ragionamento dianzi svolto interessa soltanto che 

 converga la serie semplice (11). Considerando questa serie al posto della serie doppia di 

 Fourier si perviene quindi ad un teorema analogo, sul quale, anziché sul precedente, si 

 potrebbero basare le considerazioni che seguono. Se ne dedurrebbero altrettanti teoremi, in 

 cui alla serie doppia di Fourier è sempre sostituita la (11). 



5. Quanto abbiamo dianzi stabilito apre la via ai risultati, a cui in principio abbiamo 

 accennato, sullo sviluppo di una funzione reale di due variabili reali in serie doppia di 

 Fourier. Un primo, importante teorema, che assegna un limite superiore per il valore as- 

 soluto della differenza, in un punto dato, fra la / {x, v) e la serie (9), supposta ivi con- 

 vergente, si può subito, senz' altre ipotesi, ottenere : 



S' indichi infatti con a una quantità positiva, abbastanza grande, perchè si abbia : 



(12) 



— a . ' — a 



lo ' 



ove a è il solito numero positivo, arbitrariamente piccolo, e G ha il significato sopra detto. 

 Sarà allora a più forte ragione, qualunque siano x, y, h, k: 



F (x,y,b,k) 



+ a ;*+ a 



_(a«-f- v «) 

 f (x + hu, y 4- kv) e du dv 



a J — a 



< 



Si fissi dopo ciò una coppia di valori di x ed y che indicheremo con x ed v; e si 

 chiami con D x, v 1' oscillazione della / (x, y) nel punto x, y. 



Si potranno determinare due quantità positive e ed o tali che per ogni x ed v soddi- 

 sfacenti alle limitazioni : 



X — £ <J X <= X -j- £ 

 y — §< K v -f- § 



risulti : 



| / (x, y) — / (x, y) | ^ D- _ + — . 



E . S 



Si ottiene cosi per li e k minori rispettivamente di — e di — : 



^ v 3 



] du i 



dv 



