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Carlo Severi ììì 



[Memoria IL] 



minori tutte in valore assoluto di a, e, per ogni // e k fissi, non nulli le quantità positive, 

 decrescenti : 



n* (h* +.**) {n 4- I ) 2 (/J' 2 + * 2 1 _ (« + r) 2 2 + * 2 ) 



in base ad un noto teorema di Abel, possiamo scrivere : 



- + ,. „«(P + *2) 



n% , , 11% 11% 



4 (*n,n cos x cos — v + b'n.n sen x cos T v + Cn.n cos — x sen — =- y + 



c a • e o e o " 



/IX «TU 



f ?i ,n sen x sen — — v) 



c il 



e, per la convergenza della (10): 

 80 »*(** + **) 



I &»,n cos — .v cos — v + o „.n sen — x cos — =- v + r n,n cos x sen -— y -+- 



c A ■ c a " c « 



. «x n~ 



+ f n ,fi sen x sen — y- y) 



c a ' 



0< 



A più forte ragione sarà alloi'a verificata la disuguaglianza : 



^ _ + F) 



S„ e < , n% n% ,, *ìtc wtc wic 



* 4 (/>«.« cos .v cos — v 4- b'n.,, sen x cos —r- V + Cn.n cos x sen — =- y 



„ ed- ed' c a 



. n% n% 



f»,a sen x sen — =— v 



c a ■ 



la quale sussiste qualunque siano i valori di // ed k, lo zero incluso. 



Così è dimostrato quanto sopra abbiamo asserito : i valori h' e k' di cui alla condi- 

 zione b) possono qui essere presi ad arbitrio, ed in n, che può sempre scegliersi maggiore 

 di si ha il cercato valore di 



Possiamo adunque enunciare il seguente teorema: 



Se f (x, y) è una funzione reale, ad un valore, delle variabili reali x ed y, li- 

 mitata, doppiamente periodica, col periodo 2c relativo alla variabile x, col periodo 

 2d relativo alla variabile y (c e d quantità positive) ; se per x ed y , che soddi- 

 sfano alle limitazioni : 



—c^x^+c 

 — d<L y ^ -f d 



è essa atta all' integrazione di campo, ed all' integrazione rispetto ad ognuna delle 

 variabili per ogni valore assegnato all' altra, la serie doppia di Fourier. 



CO 00 



v, v, , n% m% , , u% m% mt m% 



(9) 2j„ 2j m (b m ,n cos x cos — j— y + b ' mn cos xsen — — y-\-c m ,n sen x cos —j- ;y + 



c c " c * 



, n% m% 



+ c m.nsen xsen — = — y) 



c a 



