Sullo sviluppo di una funzione reale di due variabili reali in serie ecc. 



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00 tlT Hit , , UTC UT Hit tlT , UIC ttlt 



/.., v (b„ n cos — x cos — r- v 4- o ii n sen — x cos— r v-f- e» « cos — a sen — — y -t- c » « sen x sen— r- y) 



\ 1 1 1 — i „ e a - ' c a ■ c d ■ c a ' 







i cui valori, per ogni x ed v, coincidono rispettivamente con quelli delle serie doppie (8) 

 e (9). Basterà provare che al decrescere di // e k la (10) ha per limite la (11). Poiché i 

 termini della (10), per ogni x ed y fìssi , sono funzioni continue di h e k, che al tendere 

 di h e k a zero, tendono ai corrispondenti termini della (11), le condizioni a tal'uopo ne- 

 cessarie e sufficienti si deducono subito da un noto teorema, stabilito dal Dini (*) per serie 

 di funzioni di una sola variabile, facilmente estendibile a serie di funzioni di più variabili. 

 Senza dilungarci su ciò, che sarebbe affatto superfluo, enunciamo senz'altro tali condizioni: 

 esse sono le seguenti : 



a) che la serie (11) converga, 



b) che per ogni quantità a positiva, arbitrariamente piccola, e per ogni numero in- 

 tero, positivo, comunque grande, n', sempre esistano due numeri h' e //, maggiori di zero 

 ed un valore di // maggiore di //', tali che per tutti gli // e k, che soddisfano alle con- 

 dizioni : 



o <^ h <; // , o < k <! k' , 



ovvero alle altre : 



o < h ^ V , o ^ k ^ V , 



1 resto dei la (10), calcolato a partire dal detto valore di n, sia numericamente mino- 

 re di a. 



Si tratta ora di far vedere che la prima di queste due condizioni trae con sè la se- 

 conda, della quale pertanto non fa d' uopo tener conto. 



Per la convergenza della serie (11) possiamo infatti trovare un valore n dell'indice n 

 tale che si abbia, qualunque sia r intero, positivo : 



n-j-r 



V ,, MIE MK MIT HT UTC »(K 



ii \b n a cos — x cos — -- v + b „ n sen — x cos — =- y + c n n cos x seri— — y 4- 



_ e d - e d ■ ' e ti- 



lt 



, ut: «ic 



4- e „ „ sen — x sen — r y) 



e li ' 



Considerando le quantità: 



< a. 



. ni: ria ,, tix «x n~ nx . n~ «rc 



bn, n cos x cos v 4- b n. n sen — x cos —r v t'n, n cos x sen — — v 4- c n, n sen x sen — — y, 



ed' ed ed' c d ' 



n+l 



tm htc ,, «tu «tc /re rre , >re bic 



(li,, „ cos x cos — r v 4- o n.n sen x cos —r- v 4- e,, „ cos x sen—;- y 4- e „ „ sen x sen — y) 



ne d ' c d ' e d ' e d ' 



v, , tix /re ,. ii- /re 



Zj„ (fin,n cos — x cos — j- y + * „ „ sen — x cos — v 4- e,, lt 

 n e a e </ 



/re 



c 



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UTC 

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(*) Fondamenti per la teorica delle funzioni ecc. j 95. 



