10 Carlo Severini [Memoria IL] 



e sostituendo al posto di T, um (x, y, k) la sua espressione : 



n m tl i ],ì _l_ m ì fri 



F (x v h h\ X Yl p , m ^ i, "1 m% 



* ' r > ' n > "n "m t 4 (b m n cos — x cos — — v + b m „ cos — x sen — r v + 



oo c a ■ ed' 



n- »ik . nz WTC 



di a sen — x cos — r y + c m sen — x sen — r y) 



come si voleva. 



3. Quanto abbiamo testé detto, ove in particolare la / (x, y) sia continua , nel qual 

 caso converge ad essa in egual grado, per tutti i valori di x ed v, la F (x, y, h, k), al 

 tendere comunque a zero di // e k, il che è ben noto, e sarà del resto anche in seguito 

 dimostrato, permette di estendere due notevoli teoremi dati da Weierstrass (*) per funzioni 

 di una sola variabile. Se ne deduce infatti anzitutto una rappresentazione approssimata, ed 

 a meno di una quantità positiva qualsivoglia, della f (x, v) per mezzo di un polinomio 

 della forma : 



n m m 2 A* 



v v — 1 , Hit miz ,, «tt wk a- miz 



L n li m e (o m ,n cos — x cos — y -f- b ,„,„ cos — a sen — y -\- c mj , sen — x cos -j- y -f 



Cu Cu C CI 



n- mn 

 4- sen — .y sen — r- v) ; 



c a ' 



e come conseguenza di ciò il risultato che la / (x, y) medesima è sviluppabile in serie 

 di polinomi cosifatti, serie convergente assolutamente ed in egual grado per tutti i valori 

 di x ed v. 



Ci pare superfluo insistere su ciò, e ci limitiamo a questo breve cenno, rimandando 

 per maggiori dettagli alla citata memoria di Weierstrass. 



4. La serie doppia, che è al secondo membro della (8), se vi si pone h — k = 0, si 

 riduce all' altra : 



OO OO 



_i„ Zi m (/<„,.„ cos — - .\- cos —j y — j— b , )U „ cos — x sen —j- y + c„,, n sen — x cos — y + 



C CI Cu Cu 



tir. m-K 



(9) + t m.n sen — x sen — y) 



che diciamo serie coppia di Fourier. Questa, ove converga, come è necessario se deve 

 servire ad una rappresentazione analitica, ci dà il limite a cui la (8) e quindi la F (x,y, h, k) 

 tende, quando h e k tendono comunque, anche successivamente, allo zero. Per vedere ciò 

 possiamo, nella (8) e nella (9), porre m = n, con che otteniamo le due serie semplici: 



00 



— n 2 (h 2 -j- k 2 ) me tir. ,. n~ nz me «ir 



„ « I o n.n cos x cos —r- y + b „ „ sen — - v cos—;- y 4- c n „cos x sen — — y -4- 



q 4 c a ■ c d e a ' 



(10) -f c' n n sen — x sen — ^- y) 



c a - 



(*) C/«t«r i/e analystische Darstellharkeit sogenannter wilkiirlichen Functionen einer reeller Verànderlichen. 

 Sitzungsberichte der Kòniglich preussischen Accademie der Wissenschaften zu Berlin. 1885. 



