Sullo sviluppo di' una funzione reale di due variabili reali in serie ecc. 



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Per ogni // non nullo se ne deduce, come sopra, che converge la serie : 



00 „tjjì 



2 „ e ~~ . S,i (x, y, k) , 







e con essa la serie doppia : 



un //ni. tm hit: 

 (/',,,,„ cos — ■ x cos — v -4- b „,,„ cos x sen — - y -)-■ 







il- hit. . Il* HIT. 



+ c m // sen — x cos — r v 4- c m „ sen — x sen — r v). 



c a - c a - 



Si arriva così al seguente sviluppo della F (.r, v, //, k) valido , qualunque siano // e 

 k, purché entrambi maggiori di zero : 



CC 00 



(Ri FY* ai h il — v v n 1 }}*- -± »i l ¥ , Hit min >/t: mie 



v°j r ( x > Jt "> K ) n - J in e — - - {b„, /t cos — x cos — y -4- //,„ „ cos — a sen -t- y + 



oo 4 c « ed 



nic «tc , Hit nix . 



+ f,„ , t seri — X cos— r v -t- e ,« „ sen .v sen — =- y). 



c </ ' ' c d 



Si può aggiungere che, per ogni coppia di valori assegnati ad // e k, la convergenza 

 di tale serie è uniforme rispetto a tutti i valori di x ed y. 



Indichiamo con T„ (x, y, k) la serie (7) e con T ri ,„, (x, y, k) la somma dei suoi primi 

 m termini. Da quanto è stato dianzi detto segue subito la possibilità di trovare un tal va- 

 lore ni' di m che, qualunque siano x, v ed u, essendo // e le fìssi, maggiori di zero, ri- 

 sulti, tutte le volte che m ;> ni : 



\Tn(x,y,k)-T n ,m (x,y,k) I ^ 3 



iS (h) 



ove a è la solita quantità positiva, arbi trariamente scelta. Sia poi n un valore di //, ab- 

 bastanza grande, perche si abbia, quando // -<L n' : 



00 >m 



i6GS(k) 2 B - — 



* 2 



Potendosi scrivere : 



« _ »« 00 «« /)2 oo _ «2 //2 



F(x,y,b,k)=2 n e~ — T,,.,,, (a*, y. è) + 2„ « ~^~T f ,, m (x,y, k) + 5„ e —\.Tn(x,y,k)—T n , m (.v,v,*]. 



« (I 



si vede subito che risulta per il > «' ; /// 5> : 



F (x, v, /;, k) - S B e - r,„.« (x, v, A) 



3, 



Aiti Acc, SLKit V, Vol. II. Meni. II. 



