Sullo sviluppo di una finis ione reale di due variabili reali in serie ecc. 3 



ove G indica una quantità positiva, di cui è sempre minore il valore assoluto della/ (x,y). 

 Ciò basta evidentemente al nostro scopo. 



S' aggiunga che 1' integrale J si può ottenere mediante due integrazioni successive , 

 e che è anche permesso invertire l' ordine di queste. 



Per le ipotesi fatte sulla f (x , y) è intanto evidente che l'integrale'- 



f (u, v) e \ ^ i iln 



Il — .Y 



i/ "1 



rappresenta una funzione di v (x ed // s' intendono fissi), limitata, atta all' integrazione 

 nell' intervallo ( — d .... -\-d), e quindi in ogni intervallo finito ; e poiché al crescere 

 di ui ed u, in valore assoluto, esso tende all' integrale : 



C + oo / u-x\ 2 



f (u, v) e ^ ^ 1 du 



— oo 



uniformemente per tutti i valori di 1) , delle medesime proprietà gode anche la funzione da 

 questo rappresentata. Così si può asserire che esiste 1' integrale doppio : 



h 



du 



e che è uguale ad J. 



Altrettanto può dirsi dell' integrale doppio 



,'"+00 /W X\ 2 /*+ 00 



e \ ' ; ' du I f (m, v) e 1 1 dv 



oo 



e però si ha : 



/*+oo/«— x\ 2 /*+ oo tv — y\ 2 /*+oo — v\ 2 



e 



du ! { (u,v) e x " 1 dv — j e K J dv I f (u, v) e v 1 du 



come sopra abbiamo asserito. 



