Memoria, II. 



Sullo sviluppo di una funzione reale di due variabili reali 

 in serie doppia di Fonder. 



Memoria di CARLO SEYER1NI 



L' argomento, di cui vogliamo occuparci, è stato oggetto di alcune interessamenti ri- 

 cerche nel caso delle funzioni continue, (*) per le quali restano tuttavia a determinare le 

 condizioni necessarie e sufficienti , affinchè possano essere sviluppate in serie doppia di 

 Fonrier ; del caso delle funzioni discontinue solo il Prof. Arsela ha recentemente preso 

 ad occuparsi in una Nota preliminare, inserita nei Rendiconti della R. Accademia di Bolo- 

 gna. (**) 



Scopo di questa Memoria è di esporre alcuni nuovi risultati , che io ho potuto otte- 

 nere intorno alle questioni dianzi dette, risultati facilmente estendibili alle funzioni di quante 

 si vogliano variabili. 



1, — Indichi f(x,V) una funzione reale, ad un valore, delle variabili reali x ed y, li- 

 mitata, doppiamente periodica, col periodico 2c rispetto alla x, e col periodo 2d rispetto 

 alla y, essendo c e d quantità positive, come è lecito supporre. Se /// ed // rappresentano 

 numeri interi, qualsivogliano, positivi o negativi, sarà : 



/' (x + riìic, y + md) — f (x, y). 



Supponiamo ancora che per x ed y soddisfacenti alle limitazioni : 



— c <S x <i -i- c 



— d <: y ^ + d 



sia la f(x,y) atta all'integrazione di campo, ed all'integrazione rispetto ad ognuna delle 

 variabili per ogni valore assegnato dell' altra. 



In tali ipotesi, se u e v sono due nuove variabili reali, li e k due parametri arbitrari, 

 positivi, c' è luogo a considerare, per ogni x , y , h e k fissi (h e k maggiori di zero), 

 1' integrale della funzione : 



/ (m, v) e 



tu-: 



-fri 





\ h 







(*) Cfr. Picard: Traile d'Analyse, T. I. ; Cerni: Sulla rappresentabilità di una funzione a due variabili 

 per seria doppia trigonometrica, Rendic. del R. Istit. Lonib. . Serie li , voi. XXXIV (igoi). 

 (**) Sul limite di un integrale doppio; 9 Febbraio 1908. 



Atti Acc, Serie V, Vol. II. Mem. II. 



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