Memori» Vili. 



Sullo sviluppo di una funzione reale di variabile reale 

 in serie di funzioni sferiche di prima specie 



Memoria di CARLO SEVER1NI 



In una Nota : Sopra alarne proprietà cornimi a più serie di funzioni di uso 

 frequente nelV Analisi, pubblicata recentemente negli atti del R. Istituto Veneto, (*) am- 

 mettendo di tali serie la convergenza, ne ho dedotto alcune notevoli conseguenze, tra cui 

 il teorema che la loro convergenza quasi uniforme è condizione necessaria e sufficiente , 

 affinchè possano rappresentare la funzione data , supposta continua. Passando dopo ciò 

 alla ricerca dei criteri di convergenza, mi propongo nella presente Nota, d' indicarne alcu- 

 ni, che mi sembrano notevoli , per le serie di funzioni sferiche di prima specie : di tali 

 criteri il primo, come sarà in fine mostrato, si trova in particolare soddisfatto per funzioni 

 continue, a variazione limitatata (**). 



Il metodo, che sarà qui adottato, è applicabile anche ad altri casi, come mi propongo 

 di far vedere in una prossima Nota. 



1. Sia f(x) una funzione reale, ad un valore, della variabile reale x, limitata, atta 

 all' integrazione nell' intervallo ( — 1, -f- 1). 



Se con f\ (x) indichiamo la funzione, definita per ogni valore reale di x, mediante le 

 condizioni : 



fi (x) —f (— 1) per — 1 



f (x)=f(x) „ - 1 <.v<+ 1 



fi (x) = f (+1) „ x ^ + 1 ; 



con ti una seconda variabile reale, con k un parametro arbitrario, positivo ; per ogni va- 

 lore non nullo di tale parametro, e per ogni valore finito di x, si può la: 



F (x, li) = —*-= l f, («ì e ^ h ' du 

 J — oo 



svolgere in serie di funzioni sferiche di prima specie : 

 (i) F (x, h) = S C v (k) P (x), 



v=0 



(*) Adun. del io Gennaio 1909. 



(**) Cfr. E. W. Hobson : Oh a General Convergence Theorem , and the Theory of the Representution etc. 

 (Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, voi. 6. Part. 5) ; On the Representution oj a Func- 

 tion hy a Series of Legendre 's Fundions (idem, Series 2, Voi. 7, Part. 1). 



I risultati del Sig. Hobson, dei quali sono venuto a cognizione, quando avevo già comunicato all' Acca- 

 demia la presente Nota, comprendono quello, che qui viene stabilito, per le funzioni a variazione limitata. 



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