2 



Carlo Severini 



[Memoria Vili.] 



ove 



C (*) = -j 



, ' — 00 



ed 



'- / fj v (* ") e du 



r+ 1 



/ l v (u) = -f- / fi (*'+«) P (a') cìx' . 



I coefficienti Cv (£) sono funzioni continue di k, ed al tendere di k a zero si ha 



f (v 



lim C, (£) = fj v (o) = / f ( x >) ( X ') dx' (v — o, i , oo ). 



I 



Per un valore fisso di A' ( > o) la serie (1) converge in fine' in egual grado in tutti 

 i punti di un intervallo finito qualsivoglia. (*) 



2. Il risultato, che abbiamo richiamato nel § precedente ci servirà di base per la ri- 

 cerca dei criteri di convergenza, ai quali in principio abbiamo accennato, relativi alle serie 

 di funzioni sferiche di prima specie : 



00 



(2) 2 / I v (O) J>W (*)• 



v=0 



Questi criteri otterremo, facendo in modo che la serie (1), in cui si riguardi x fisso, 

 al decrescere di k, ammetta per limite la serie dei limiti (2). Le condizioni a tal' uopo ne- 

 cessarie e sufficienti sono, per un teorema del Dilli, le seguenti : 



a) che la serie (2) converga , 



b) che per ogni numero o , positivo , arbitrariamente piccolo , e per ogni numero , 

 intero, positivo, comunque grande , ;//' , si possano trovare due numeri k' ed m, dei quali 

 il primo diverso da zero e positivo, ed il secondo intero , maggiore di ni , in modo che 

 per tutti i valori di k fra zero e k' (lo zero escluso) il resto R,„ (k) della (1), calcolato 

 a partire dal termine m° , risulti numericamente minore di 3. 



Ciò posto poniamo : 



v= v +r (v) 



Rn.r (*, k) = 1 C v (*) P (X) , 

 v— n 



R n , r [X, 0) — 2 / I;V (01 P (V) (AT) , 



v— n 



(*) Cfr. la mia Nota : Sulla rappresentazione analitica delle funzioni reali discontinue di variabile reale. 

 Rendic. della R. Acc. di Torino 1899. 



