Sullo sviluppo di una funzione reale di variabile reale in serie ecc. 3 



donde : 



*=«+'• (y ) 



R n ,r (x,k) — Rn.r (*,o) = 2 [C v (*) -/ 1>v (o)] P (x) 



e sostituendo al posto di C> (k) ed fi,v (o) le loro espressioni : 



oo /'*-(- I 



( 3 ) Kn,r (*, *) — Rn,r (*, o) = -f=r I e~" du 2 [/j (x 7 + Alt) — / («0] P (*') dx'. P (x), 



i 



— oo ' — i 



come subito si vede con alcune ovvie trasformazioni. 



Ammettiamo ora che per un valore di x , compreso fra — 1 e -f- 1 esista una co- 

 stante positiva, finita M , di cui sia sempre minore, in valore assoluto, la somma : 



' * 2V-H / ' (v) (v) 



2 — \ f (x' + h) P \x') dx'. P { \x), 



V 

 Li 



v=0 



qualunque siano ;/ ed // variabile nell' intervallo ( — 2, -f-2). 



In tale ipotesi si può evidentemente determinare una quantità positiva «, abbastanza 

 grande, perchè risulti, qualunque siano //, r e k {x s'intende fisso): 



(4) 



i / — tt 2 vi 2V-4-I I 0) (v) 



R„ t r (X,k)-R n ,r (X,0Ì— -j=r\e du 1 _J_ \ [/ , ( x'+ku ) -f(x')] P (x') dx'. P (x) 



r. 



a essendo un numeio positivo, prefissato piccolo a piacere. 



Ammettiamo inoltre che, per il valore considerato di x, si possa assegnare un numero 

 positivo, non nullo, /?', siffatto che, quando è \h\ <J //', si abbia, qualunque sia ;/ : 



v 2 v + 1 



[/ L (x' 4- /•-) - f(x') ] P (V Vv') dx' . P V '\x) 



Si ricava allora dalla (4), per ogni k <J 



(5) 



R„, r (x, k) - R n , r (x,o) ; ^ 3a 



qualunque siano ;/ ed r. Da ciò segue facilmente che, nelle dette ipotesi, sono soddisfatte 

 entrambe le condizioni contemplate nel teorema del Dini. 



y 



Fissato infatti un valore k di k minore di — , ed un valore n di n, abbastanza gran- 



