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Carlo Severini 



[Memoria Vili.] 



de, perchè sia, se ;/ I> ri : 



si deduce dalle (5) che deve essere: 



Rn,r (X, V) 



Rn.r (*, O) I < 40 



( n ^> ri) , 



il che prova la convergenza, nel punto x considerato, della serie (2). 



L' altra condizione, contenuta nel detto teorema, è poi anch'essa manifestamente sod- 

 disfatta, giacché per;/ 2> ri, k <a — - , risulta: 



C v (è) P ( A ) 



7o. 



Aggiungiamo che la (2) converge uniformemente in un tratto dell'intervallo ( — 1, -j-1) 

 che può concidere coli' intervallo stesso, e ad essa tende uniformemente la F (x, k), al 

 tendere a zero di k, se le quantità M ed h' esistono per ciascun punto di quel tratto e pos- 

 sono determinarsi in modo, che abbiano rispettivamente un limite superiore finito ed un 

 limite inferiore maggiore di zero, per ogni valore assegnato di a. 



Ricordando la nota formola: 



(6) 



y 2 v+i (v) (v) _ n+ 1 P (x) P(x') P(x) P (%') 



* ~r~ p (*o p (*) - 2 t^t? 



noi arriviamo così al seguente teorema : 



A. Nelle ipotesi poste in principio (§ 1) per la f (x), la serie: 



(2) 



(?) (v) 



/ ( x ) P (x) dx'. P (x) 



è in un putito x dell' intervallo ( — ■ 1, -\~ 1) convergente, e rappresenta il limite, a 

 cui tende, al tendere a sero di k, la : 



i 



F (x, k) = — j= I (u) e \ k ) du , 

 .7 — co 



se, qualunque siano n ed h ( [ h [ ^ 2), si ha : 



'+ I (»+l) (») (») 



/i (*' + /;) _ x> dx' 



M (M costante), 



