Sullo sviluppo di una funzione reale di variabile reale in serie ecc. 



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ed esiste inoltre una quantità h, maggiore di zero, tale che, per | h | < h', risulti. 



h i OH) («) (") (»+0 

 [fi (x' + b)— f 09] — — -, — dx' 



< 



o essendo un un/nero positivo, prefissa/o piccolo a piacere. In un tratto dell'inter- 

 vallo ( — 1, +1), che può anche essere l' intervallo stesso, per tutti i punti del 

 quale le quantità M ed h' esistano , e possano determinarsi in modo che abbiano 

 rispettivamente un limite superiore finito ed un limite inferiore maggiore di sero, 

 la serie (2) converge in egual grado, e ad essa tende in egual grado, al tendere 

 di k a zero, la F (x, k). 



3. Alla medesima conclusione si arriva, se si ammette che in un punto, o in un tratto 

 dell'intervallo ( — 1, — -j— 1), risulti, qualunque siano // ed h ( | h \ < 2) : 



< Mi (Mi costante). 



Riprendendo la (3) del § precedente, si trova infatti in questo caso: 



'"-4-co 



. | 2MJ1 I — u 2 



| #„,,. (x, k) — R n _r (x , o) I —=r- / \u\ e du , 



J -CO 



che evidentemente basta al nostro scopo. 

 Abbiamo pertanto il teorema : 



B. Nelle ipotesi poste in principio (§ 1) per la f (x), la serie: 



I J\ (*' + h) 



(»+i) («) 



U{x') P(x) P(x') 



P(x) P(x') 



dx' 



(2) 



CO 



V 



2v+ I 



0) ( v ) 

 f ( x ) P J (x') dx'. P [ \x) 



è in un punto x dell' intervallo ( — 1, ~\- l) convergente e rappresenta il limite, a 

 cui tende, al tendere di k a zero, la : 



/*+oo fu— x 



il — \ k 



F (x, k) = —7= I ti (u) e ' du, 



k V % 



se, qualunque siano n ed h ( | h 



2), si ha: 



C + 1 f»+i) (») (») (»-H) 



n+i i fj jx' + h) - /, jx') P(x) Px') P(xj P(x') 



2 I k x — x' 



ix' 



Mi {Mi costante). 



