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Carlo Sederini 



[Memoria Vili.] 



/// un tratto dell' intervallo ( — 1, -f~ 1), che può anche coincidere coli' inter- 

 vallo stesso, per tutti i punti del quale esista la quantità Mi, e si possa determi- 

 nare in modo che abbia un limite superiore finito, la serie (2) converge in egual 

 grado, e ad essa tende in egual grado la F (x, k). 



4. Il teorema A del § 2 può, nel caso che si tratti di un punto o di un tratto interno 

 all'intervallo ( — 1, -f- 1), porsi sotto altra forma, che giova indicare. 



Ricordiamo che, se o è una quantità positiva, diversa da zero, arbitrariamente scelta, 

 per tutti i punti dell'intervallo ( — 1 — j — S, 1 — h) e per ogni n > o, si può porre: 



(7') 



in) __ 

 P( x ) \n% seri H 



(n H ) e 



2 4 



a (n, 0) i 



ove e x— cos 9, ed a (n, 0) rappresenta una funzione, il cui valore assoluto, nell'intervallo 

 ( — L — [ — S , ] — §), e per ogni // > o, è minore di una costante positiva, finita. 

 Sostituendo nel secondo membro della (6), se ne deduce : 



e quindi : 



(»+i) 0) 



B+I P{X) P(x') 



(») (w-f-i 

 P(X) P(x') 



(»-f I). I pi (x, x', n) 



2 x — x' . fri (n+l) 



(«+0 (») 



-, P(x) P(x') 



dn («+0 



P(X) P(x') 



(x, x',n) 



ove p (x, x, u) rappresenta una funzione che è in valore assoluto minore di una costante 

 positiva, finita per ogni n > o e per ogni x ed x compresi nell' intervallo ( — 1 -{-%, 

 1-5). Di una costante positiva, finita, si mantiene pertanto minore il secondo membro 

 della precedente disuguaglianza se, oltre alla condizione dianzi detta, si pone che x ed x 

 soddisfino all' altra : 



x 



z essendo una quantità positiva non nuìla, arbitrariamente scelta. 



Dopo ciò è chiaro che possiamo senz' altro enunciare il seguente teorema, che facil- 

 mente si deduce dal teorema A. 



A. Nelle ipotesi poste in principio (§ 1) per la f (x) la serie : 



(2) 



è in un punto x interno all' intervallo (— 1, — f— 1) convergente, e rappresenta il 



