Carlo Severtni [Memoria Vili. 



Si fissi ora un valore x di x nell'intervallo ( — 1, -\-\) e si chiami con Dy 1' oscilla- 

 zione della fi (xj in quel punto. 



Sarà possibile determinare un intorno (x — r„ x-\-f[) del punto x (vj quantità positiva) 

 tale che, per ogni punto x di esso, risulti : 



| f\ (x) — /, (xj | <^D* +-y . 



Se pertanto k indica un numero siffatto, che si abbia : 



k c ^ *j , 



risulterà per ogni k <S k : 



[ /, (*) — ^ (x + few) ] e rf« 



ed osservando che si può scrivere 



ti (*) 



d (x) e du 



e quindi : 



ti (*) 



I I — — u- 



j=r- I f\ (x) e du 



3 



verrà in ultimo, tutte le volte che è k <^ k 



F (.v, k) — f (x) | <; Dy -A- 3 . 



Da quanto abbiamo dianzi detto si deduce che si può, assegnati due numeri o e X po- 

 sitivi, piccoli a piacere e fra loro indipendenti, escludere dall' intervallo ( — 1 , — j — 1 ) un 

 numero finito di tratti, la cui somma sia minore di \ in modo che nelle parti rimanenti, 

 per valori di li che non superano un determinato limite //, opportunamente scelto, risulti : 



| F (x, k) — / (x) | <S a. 



In particolare, se la f (x) è in un punto x continua, si ha : 



lim F ix, k) = f (x) , 

 k—o 



e se è continua in tutto un tratto, la F (x, k), al tendere a zero di k, converge unifor- 

 memente, per tutti i punti di questo, ad f (x). In un punto, nel quale la / {x) abbia una 



