Sullo sviluppo di una funzione reale di due variabili reali in serie ecc. 



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discontinuità di prima specie, risulta infine : 



lim F (x, k) 

 k—o 



_ fi (x + o) + f L (x -o) (*) 



r 



6. Da quanto abbiamo detto nei §§ precedenti si traggono alcune conseguenze im- 



posto che in ogni punto di un tratto (xi, X2) dell'intervallo ( — 1, -|- 1) siano soddi- 

 sfatte le condizioni di uno dei teoremi A, A', B, (**) sotto le quali la serie : 



converge, e rappresenta il limite al quale tende, al tendere di k a zero, la F (x, k), risulta 

 in tutti i punti di quel tratto : 



ove D x indica, come sopra, l'oscillazione della f (x) nel punto x che si considera, e però 

 la serie (2) rappresenta in (x\ , x%) la f (x), fatta al più eccezione per i punti di un in- 

 sieme di misura nulla; e prefìssati due numeri positivi a e \ fra loro indipendenti, pic- 

 coli a piacere, si potranno, escludere da (xi, x%) dei tratti in numero finito, la cui somma 

 sia minore di \ in modo che nelle parti rimanenti si abbia : 



Dopo ciò, convenendo per brevità di dire che le condizioni di uno dei suddetti teo- 

 remi sono uniformemente soddisfatte nel tratto (xi, X2), quando le quantità, di cui si parla 

 in dette condizioni, possono essere fissate in modo che valgano per tutti i punti di (xi, xì), 

 è chiaro che siamo ora in grado di enunciare il seguente teorema : 



C. Sia f (x) una funzione reale, ad un valore, della variabile reale x, limi- 

 tata, atta all' ini egra s ione nell'intervallo ( — /, -f- /). 



Se per un punto x di questo sono sodisfatte le condizioni di uno dei teoremi 

 A, B, A', la serie : 



(") Ctr. la mia nota: Sulla rappresentazione delle funzioni reali di variabili reali ecc.; Rendic. del Cir. 

 Mat. di Palermo, T. XIX, (1900). 



(**) Il tratto non può avere come estremi nessuno dei punti — 1, -f-i quando si tratti del teorema A'. 



portanti. 



'-i-i 



Atti Acc, Skrie V, Vol. II. Mem, YKI. 



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