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Carlo Severini 



[Memoria Vili.] 



converge, e soddisfa alla disuguaglianza : 



2 v+I 

 2 



(vi (v) 

 / (*') P \x')dx' . P (X) 



ove D , indica l 'oscillazione della f (x) nel plinto x, che si considera ; e se in que- 

 sto la f (x) non ha una discontinuità di 2* specie, risulta inoltre: 



j\ (x + o) ~j- (x - o) _ 



= S 



2V+I I , , „(v) , , , (v) 

 —^\f(x') P (x 1 ) dx'. P (X). 



In un tratto (xi, X2), dell'intervallo ( — 1, -ì-ì) per tutti /'punti del quale siano 

 soddisfatte le condizioni di uno di quei teoremi, la serie (1!) rappresenta la f (x), 

 fatta al più eccezione per i punti di un insieme di misura nulla ; e prefìssati due 

 numeri a e k positivi, piccoli a piacere, fra loro indipendenti, si può escludere da 

 (xi, X2), dei tratti in numero finito, la cui somma sia minore di \ in modo che 

 nelle parli rimanenti si abbia : 



/(*> 



f + 1 



2v4-I / (v) (v) 



\ f U') P' V) dx'. P W (x) 



Se in particolare la f (x) è in (xi , X2) , continua, e le condizioni sopra dette 

 sono ivi uniformemente soddisfatte, la (1!) converge alla f (x) in egual grado. 



7. Vogliamo ora mostrare che la prima condizione del teorema A è uniformemente 



soddisfatta per tutti i punti di un intervallo ( — 1 — §), interno all'intervallo ( — 1,-f-l), 

 se fra — 1 e -)- 1 la f (x) è a variazione limitata. 



In tale ipotesi possiamo scrivere : 



18) f (*0 = <P (*') - ♦ (x'), 



ove cp (x) e '\> (x) sono funzioni positive, limitate, non decrescenti fra — ] e -j- 1 , e 

 quindi per ogni h fisso (\h\ <^ 2) : 



[9Ì fi (*' + = fi (*' + &) - <h C*' •+•*). 



ove con tpi (x') e <j>i (x') intendiamo due funzioni dedotte rispettivamente da <p (x') e <p (x') 

 come la fi (x) da f (.v), (cfr. § 1). 

 Posto per comodità di scrittura : 



(n+i) (») (11) (n+i) 

 „ + l P(x') - P(x) P(x') 

 —r- ^ = s (*> x . »)> 



(*) Cfr. la mia nota negli atti del R. Ist. Ven. citata in principio. 



