Sullo sviluppo di mia fun zione reale di variabile reale in serie ecc. 



1 I 



si ottiene : 



f'+i (»+i)J>) Jn) (»+i) /*+ i r+ i 



„+, P(x') - P(X)Px') / 



(io)— 1 — / /t(^+*) — </.v 1= / cp, (.v + /;> 5 (.v,.v', « ) dx' - lt|>, (a/ + h) S(x,x',n) dx'. 



Mostriamo che ciascuno degli integrali, che figurano nel secondo membro della prece- 

 dente eguaglianza, è in valore assoluto minore di una costante positiva, lìnita, qualunque 

 siano // ed li (\h\ <j 2) e per ogni .v appartenente all' intervallo ( — 1 - - o, 1 — o), 

 ove 5 è una quantità positiva non nulla, prefissata piccola a piacere. 



Basterà considerare il primo dei suddetti integrali, il medesimo ragionamento potendosi 

 identicamente ripetere per 1' altro. 



Posto : 



J- .<*<«, ii=«-y, 



cominciamo col considerare l' integrale : 



-, + , 



t s> l (x' 4- b)S(x, x,' n) dx'. 

 Applicando il secondo teorema della media otteniamo : 



— I-f 0' 



■i+ò" e— i-fò' 



(n) / ?i ( x ' + ^ (- v > x 'i '' A ' — ? i ! — 1 ' ; + °) / ^ <- v > x 'i ") d*' + ?i (~ 1 H~ °' ^— o) / .>(*, x',«) eh:' , 



ove 5" è una quantità soggetta alla condizione o <J 5" <] 5' , dipendente dai valori di .v, 

 li ed n. 



Anche qui, dei due integrali che figurano nel secondo membro di questa eguaglianza, 

 basterà che ne consideriamo uno , ad es. il primo. Sostituendo in questo , al posto di 

 S (x, x', n), la sua espressione ed applicando nuovamente il secondo teorema della media, 

 posto — 1 -j- 3 <J x <^ 1 — b , abbiamo : 



r — i-tV I _(«+0 t'-i+ò'" r„) r—i-t-V" 



I 5 (*. ^ «) ' /A = j .v+ i / A*') <M - t^tt I dx ' + 



(12) 



P(.v) / («) /> (() / (n+i) 



+ ,-+i-ò" (-O^'- v+ ,_ y , \P (*') dx' 



»/ — I+o J — 1+8 



ove o 



