Sullo sviluppo di una funzione reale di variabile reale in serie ecc. 



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positiva finita, di cui, qualunque siano n ed h ( | h | ■< 2 ), è minore in valore assoluto 

 ciascuno dei due integrali : 



/*X--|Jl /*!— ò' 



/ tpj (.v' + h) S (x, x', u) dx' ■ I <pj (x' + h) S (x, x', n) dx' . 

 J — 1+8' ./ x+ji 



Restano i due integrali: 



l tpj (x' + h) S(x, x', ti) dx' , / ■o i (x' -f /;) 5 (x, x', b) i*' , 



J X — (1 J X 



dei quali ci limiteremo a considerare il primo, lo stesso ragionamento potendosi analoga- 

 mente ripetere per 1' altro. 



Applicando il secondo teorema della media, otteniamo : 



r* f x —v-' /** 



(14) / fi (*' + b)S(x, x', n) dx' ~ tp, yx — jjl' + h -\ o)\S (x, x', 11) dx' + (p 4 (x -f h — o) I 5 (x, x', «) rfx' . 

 J x -y. J x— (i J x— n' 



ove t-*-' è una quantità, soggetta alla condizione <I fi <i |a. 

 Ora si può dimostrare che 1' integrale : 



/**—!» 



l S (x, x', n) dx' 



J x—Y- 



qualunque sia jx, soddisfacente alla condizione o ;S5 fi 5s , qualunque sia 11 e per ogni x 

 dell' intervallo ( — 1 — j — S, 1 — ò) è minore di una costante positiva, finita. Quando avremo, 

 ciò stabilito, risulterà, a causa della (14), che è, in valore assoluto, minore di una co- 

 stante positiva, finita, per ogni // ed // ( | h | 5^2) e per ogni x di ( — 1 — ( — 1 — SJ) 

 1' integrale : 



fx 



t 



j f t (x' + h) S (x, X, 11) dx' , 

 . ' X — u. 



ed analogamente anche 1' altro : 



•ac+ji 



<p, (x' + b)S(x, x', 11) dx' 



x 



con che resterà senz'altro stabilito quanto abbiamo asserito al principio di questo pa- 

 ragrafo. 



