Sullo sviluppo di una funzione reale di variabile reale in serie ecc. 



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la prima è minore, in valore assoluto, come facilmente si vede, di una costante positiva, 



« fl" ■ j 11 a ■ u u i ■ v cos(v+ ~) (ff' + 6) 

 finita per ogni //, o, n ; e riguardo alla seconda si ha che la sene _j __2 



v — I V 



converge in egual grado per tutti i valori di & -f- 6" compresi in un intervallo interno a (o, 2%), 

 il che si verifica se x appartiene a ( — 1 -f- o, l — o), essendo \>. <C — . 



Il medesimo ragionamento si può ripetere per la rimanente parte della (16), e resta 

 pertanto pienamente stabilito quanto abbiamo detto al principio di questo paragrafo , che 

 cioè la prima condizione del teorema A è uniformemente soddisfatta per tutti i punti 

 di un intervallo ( — 1 -j- 8, 1 — o), interno all' intervallo ( — 1 , -f- 1), se fra — 1 e -j- 1 

 la f{x) è a variazione limitata. 



8. Ferma restando 1' ipotesi che la f{x) sia a variazione limitata fra — 1 e -f- 1 , 

 vogliamo mostrare che la seconda condizione del teorema A è del pari uniformemente 

 soddisfatta per tutti i punti di un intervallo {x\ , xì) , se in un intervallo (xi — s , x% -j- e), 

 che comprende questo, ed è interno a ( — 1 , -)- 1) , la f (x) è anche continua. 



In quanto è stato detto nel § prec. noi possiamo intendere che la quantità o ivi con- 

 siderata sia minore di 3 , e soddisfi alla condizione : 



- 1 + l ^ XI — s < x 2 + s ^ 1 + l. 



Ciò posto, intendendo , come sempre supporremo in seguito , che x rappresenti un 

 punto qualsivoglia fra x i ed x% , si abbia, in forza del secondo teorema della media : 



rx fx—Y-o f x 



<?! (.*) S (x, x', n ) dx' = -fi (x — / S (x, x', n ) dx' + <ù { ( x) I S (x, x', Il ) dx' . 

 x—y. J .v— ii J x—yj 



Da questa eguaglianza e dalla (14), tenendo in esse conto che la fi (x) è ora con- 

 tinua in (xi — 3, X2-(-e), si deduce, pei' ogni // minore, in valore assoluto, di — : 



I cp, (x' 4 b) - y t (x) 



S (x, x', n) dx'z= | ipj i x — ji' -f- b) — <p , (x — (i.) 



S (x, x', n) dx' + 

 .J x—V- 



■f | -v — - ■ ■ -, . v j S (x, x' n) dx' + 



x- H' 



<**x 



+ ip, (x + h) - - ■s fi (x) I S (x, x', n) dx' 



