Sullo sviluppo di una funzione reale di variabile reale in serie ecc. 



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Per ultimo osserviamo che i due integrali : 



(19) 



-1+6' 



<pj (x'-f /;) — <pj (x'; 



5 (x, x', n) dx' , 



<s t (x' + /;) — <p 4 (*') 



5 (x, x'. ») rfx' , 



al crescere di n, tendono s uniformemente a zero (cfr. § prec.) , per tutti i valori di h e 

 per tutti i valori di x compresi fra x\ ed x>. Si può quindi determinare un valore ri 

 di n, per modo che quando // 2> ri essi risultino in valore assoluto minori di g. Per va- 

 lori di n <C ri è applicabile agli integrali (19) il ragionamento dianzi fatto per gl'integrali 

 (17) e (18). 



Tutto ciò che è stato sin qui detto si può ripetere per l' integrale : 



+ 1 



(x' + h) — <J>, (*') 



S (x, x' , n) dx' 



sicché, concludendo possiamo ora asserire, che è possibile fissare la quantità li in modo 

 che per \h\^h' si abbia, qualunque sia // e per ogni x di (.ri, X2) '■ 



-t-i 



[ / ix' +h) — f (x') 



S (x, x' , n) dx' 



ove a è un numero positivo, prefissato piccolo ad arbitrio ; come volevamo dimostrare. 



9. Quanto abbiamo detto nei due - precedenti §§ conduce al seguente teorema, che è 

 un caso particolare del teorema C. 



Sia f (x) una funzione reale, ad un valore, della variabile reale x, avente un 

 limite superiore finito per i suoi valori assoluti ed a variazione limitata nell'in- 

 tervallo (— 1, -j- 1). Se fra xi ed X2 ( — 1 <C xi << x-2 << -j- 1 ) è anche continua , ad 

 essa converge in egual grado la serie : 



f + I 



vi 2v 4- I / (v) (v) 



2 -~ I f (x') P V \x') dx'. P K (X) 



v — O J 



— I 



in tutti i punti dell' intervallo (xi -f~ s , x 2 — s) ove £ è una quantità positiva, che 

 può essere scelta piccola a piacere. 



Catania, 2y Aprile ic)0<). 



