Memoria XI. 



Sulle successioni influite di funzioni analitiche 

 Nota di CARLO BEVERINI 



Nella Note on the functions defined by infinite series, nohose lerms are ana- 

 lytic functions of a complex variable etc. pubblicata dal sig. Osgood negli Annals 

 of Mathematics, ser. 2, voi. 3 (1901-02) p. 1!5, ed in altre memorie di diversi autori, (*) 

 che a quella hanno fatto seguito, sono stabiliti importanti risultati intorno alle successioni 

 infinite di funzioni analitiche. Tra questi presenta interesse in modo particolare il seguente, 

 che una successione infinita di funzioni analitiche : 



(I) /l (-V). /, (.V), /„ (.V) 



regolari in un' area finita, connessa F, se è limitata , (**) si compone di funzioni egual- 

 mente continue in ogni area F' interna (***) a F, nella quale esistono allora una o più 

 funzioni analitiche, regolari, a cui tendono in egual grado successioni estratte dalla (1). 



Tali funzioni si riducono ad una sola, a cui tende in egual grado nell'area F' la (l), 

 se questa ammette un limite determinato e finito in un insieme infinito di punti, avente 

 almeno un punto limite interno a F. Un' altra condizione , che può essere a tale scopo 

 considerata, e che conviene per il seguito ricoidare, è la seguente, che ponendo : 



/„ (x) = Ri f„ (.V) ) + / /( /„ (X) ) (n = I, 2, . . . oc ) 



una delle due successioni : 



(7) ' K(t\ (X)), Rih (x)) , . . . . , R[)„ (X)), 



(3) /ih <-v) ), /(/, (x)) /(/„ (A)), 



ammetta un limite determinato e finito in un insieme di punti uniformemente denso sul 

 contorno (finito) di una qualche area interna a F, mentre per l'altra ciò si verifichi in un 

 punto qualsivoglia di quest' area. 



Scopo della presente Nota è d' indicare delle nuove condizioni, perchè la successione 

 (1) risulti in ogni area F' interna a F limitata, condizioni in cui essenzialmente ed in pri- 

 ma linea interviene la parte reale J^f„ {x) , ovvero il coefficiente della parte immaginaria 



(*) Vedansi per le citazioni le mie Note : Sulle serie di juniioiii analiticìie negli Atti del R. Ist. Ven. 

 1904, 1905. Cfr. anche Montel: Sur les mitei injìnies de fonctions : Annales scientifiques de l'Hcole Normale 

 Supérieure, 1907. 



(**) Diciamo che una successione infinita di funzioni è, in un dato insieme di punti, ìiiiiitata, se in ogni 

 punto di tale insieme il modulo di ciascuna di quelle funzioni si mantiene sempre minore di una costante 

 positiva, finita. Quando la successione si componga di funzioni reali, diremo che è limitata superiormente, se è 

 limitata la successione dei limiti superiori, limitata inferiormente, se è limitata la successione dei limiti inferiori. 



{*** } Intendiamo che esista una quantità positiva, non nulla ò, di cui sia sempre maggiore la distanza di 

 due punti presi uno sul contorno di F e V altro sul contorno di F'. 



Atti Acc, Serie V, Vol. I. Mem. XI. 1 



