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Carlo Severini 



[Memoria XI.] 



J {f,Xx)), di ognuna delle funzioni (1), e che danno per conseguenza luogo a notevoli risultati 

 sulle successioni infinite di funzioni armoniche. ■ ' r, ' 



I. 



Successioni infinite di funzioni analitiche. 



1. Per la ricerca delle condizioni, alle quali testé abbiamo accennato, conviene richia- 

 mare la relazione di Hadamard e Borei fra il modulo di una funzione analitica e la sua 

 parte reale. 



Il teorema, al quale alludiamo, è il seguente : 



Se F (x) è per lx| < r regolare, e soddisfa alla condisione : 



. R {F(x) ) ^ A 



con ; 



A ^ o\ 



e se : 



., ■ . o < p < r , 



risulta per ogni |x| ^ p : 



I F (-.V) 1 ^ I y (F(o); I + (2 ^ + I ^(F(0)) I ). 



Fra le dimostrazioni, che di questo teorema sono state date , la seguente di Schot- 

 tkv (*) ha sulle altre il vantaggio di una maggiore brevità , e meglio si presta ad essere 

 qui riprodotta. 



Si ha per ^ p : 



F {X) = i J (F(o)) + -^l ^^R(Fii) )d'f, 







ove si è posto 



e quindi : 



/ •2X 



|F (X) I ^ I /(F(o)) l-f--^^ |i?(f(0)M<f, 



donde, osservando che : 



, '27C 



r — p 27. r — pi 







(') Cfr. ScHOTTKY ; Ueher den Picardscben Sat^ und die Boreìschen Un^leichnngen ; Sitzungsberichte der Kò- 

 niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften, Berlin, 1904, S, 1245 — 1247. 



