Sulle successioni infinite di funzioni analitiche 



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si deduce ■ ■ i ; ' ' ■ • 



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\F {X) \ ^\ /(F(0) )\^\K (Fio) )\ y^^^ + ,^7^1 J (F (^)) I (Ff^))j </'^ 



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I F (A-) i ^ I J (F(o) ) 1 + I « ( F(o) )\y^ + 2 ^ ^'r^- C.D.D. , 



Osservazione. — Mediante questo teoreina si può ritrovarti ii risultato, che una fun- 

 zione armonica U [u, v) , continua essa e le dei ivate in T , raggiunge il massimo ed il 

 minimo soltanto in punti del contorncj. Si ass(jci infatti alia // («, v) una funzione armo- 

 nica V {it, v), per modo che la funzione della variabile complessa x = h -\- i v : 



lì' (x) = V (il, v) /■ V (II, VI 



sia analitica, regolare in ì\ 



Se ora la U {u, v) potesse assumere ad esempio il massim<.) in un punto , Vo) 

 interno a I', la 



IF (x) - ir (.v„) - 1f (.v) , i . ^ 



ove s" intende posto .w. = ii„ -j- / Vo , a\'rebbe la parte reale costantemente ^ o, ed inol- 

 tre sarebbe : 



/,• (W (.,■„) ) — o, / (W (x„) ) = o. 



Nel cerchio di centro .Vo e raggio uguale alla minima distanza di .Vo dal contorno di 

 r, e pertanto in tutta 1" area l\ dovrebbe essere : 



n {X) — o. 



cioè: 



ÌV (x) ~ W (X,), 



il che è assurdo, suppónendosi naturalmente U (n, v) non costante. 



1!. Ciò posto riprendiamo la successione (1) ed ammettiamo, che in un punto .\\^ in- 

 terno a r sia essa limitata, il che porta, come sopra è detto, l'esistenza di una costante 

 positiva, finita, M, per la quale si ha : 



(4) I ^ (-^o) )\-^ M,\ ] (i'n (A-o) ) I ^ M r« I, 2, . . . . , 00 ) . 



Ammettiamo ancora, che sia in ogni punto di F : ) 



(5) R (ir, (X)) ^ A (H= 1.2, y-.)- 



con : 



e, come dianzi, indichiamo con V un' area qualsivoglia interna a F, con 3 la minima di- 

 stanza, che può intercedere fra un puntcj del contorno di T ed un punto del contorno di 

 F' ; per ultimo con 5 (x) la minima distanza di un punto .v di F' dal contorno di F. 

 Ponendo nel teorema del precedente 



r = fi i.v„) — z, p = ò (Xo) — 22 •■ 



